"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ьно всех непрерывных периодических функций обладают свойством: погрешность приближения можно сделать сколь угодно малой, выбрав число параметров, от которых зависит семейство приближающих функций, достаточно большим).
Таким образом, важно развитие аппарата приближенных вычислений для прикладных и теоретических задач математики. В работе было выделено четыре направления, в которых не обойтись без приближенных вычислений. Из этих направлений для школьников недоступно приближение функции, так как здесь используется много новых понятий. Однако, приближенное решение уравнений для школьников вполне доступно, этот теоретический материал связан со школьной программой.
2. Тема Приближенные вычисления в школьной математике
1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями
В настоящем пункте перечислим понятия теории приближенных вычислений, с которыми знакомятся школьники с 1 по 11 класс.
Приближение. В справочной литературе можно встретить несколько формулировок.
1)Так, в энциклопедиях [17, с.487] и [19, с.316] рассматривается более широкое понятие - апроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Апроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).
2)В энциклопедии [8, с.20] также рассматривается приближение с недостатком и с избытком.
)В энциклопедии [19, с.249] приближение рассматривается как замена числа, а мало отличающимся от него числом а* - его приближением.
Обобщив имеющиеся формулировки, будем понимать приближение как замену одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.
Если приближенное значение меньше точного, то это приближенное значение по недостатку, если больше - то по избытку. Термин приближение будем использовать в смысле приближенного значения величины.
Округление. Округление числа будем понимать как приближенное представление числа в десятичной (или иной, например двоичной) системе счисления с помощью конечного числа разрядов. Такое определение представлено в энциклопедии [19, с.238]. Здесь же сказано о приближении с округлением, но четкой формулировки нет. В методической литературе определение термина округления не предлагается, этот термин объясняется через правила округления. В литературе встречаются три вида правил:
1)формальный алгоритм округления, [8, 11, 12];
2)правила округления целых чисел и десятичных дробей, [22];
)правило четной цифры, [19, 8, 11, 12].
В приложении 2 к данной работе приведены формулировки правил.
Разные формулировки правил означают одно и то же. В учебниках используется, главным образом, формальный алгоритм округления.
Погрешность. В справочной литературе рассматриваются разные погрешности. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. В источнике [6, с.17] выделены следующие причины возникновения погрешностей при решении задач:
1)математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;
2)применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;
)при выполнении арифметических операций производятся округления.
4)Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.
Типы погрешности, соответствующие этим причинам:
1)неустранимая погрешность - это погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;
2)погрешность математической модели - это погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;
)погрешность метода;
)вычислительная погрешность.
Введем формальные определения.
Пусть
I - точное значение отыскиваемого параметра,
I* - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию,
I*h - решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений,
I*h* - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях.
Тогда
r1=I* - I неустранимая погрешность,
r2=I*h - I* погрешность метода,
r3=I*h* - I*h вычислительная погрешность,
r0=I*h* - I полная погрешность.
Полная погрешность удовлетворяет равенству r0 = r1 + r2 + r3.
Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например:
r0=|I*h* - I|
r1=|I* - I|
r2=|I*h - I*|
r3=|I*h* - I*h|
При таких обозначениях получаем r0 r1 + r2 + r3.
Выделим следующие группы погрешностей:
) Погрешность измерения и погрешность приближения.
В некоторых источниках [25, с.142] под погрешностью измерения понимают разность х - а, где х - истинное значение измеряемой величины, а - результат измерения. Под погрешностью приближения понимают разность между числом х и его приближенными значениями. Например, приближенные значения числа P.
) Погрешности абсолютная, относительная и предельная.
Итак, в [15, с.13] сказано, что абсо