"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ых корней уравнения F(x) = 0 являются абсциссами точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox. Чтобы указать отрезки, заключающие только по одному корню уравнения, не требуется особой точности.
Для улучшения приближения корней алгебраического уравнения используют четыре способа:
Способ 1. Способ Ньютона (способ касательных).
В этом способе приближенное значение действительного корня улучшается по формуле
= - .
Корень необходимо отделить, т. е. определить отрезок [a,b], в котором находится единственный действительный корень. За первое приближение корня следует взять значение того конца этого отрезка, на котором знак функции совпадает со знаком ее второй производной.
Например, найдем корень уравнения х2 - х - 1 = 0. Действительный корень находится на отрезке [2, 3].
= 3 - ;
= 2; - ;
= 5/3.
Способ 2.Способ линейной интерполяции (способ хорд).
Для вычисления (n + 1) - го приближения корня пользуются формулой
=
Заметим, что хn и хi - значения, между которыми находится искомый корень. За первое приближение корня можно принять значение любого из концов отрезка, на котором находится отделенный корень.
Способ 3. Служит для определения приближенного значения наибольшего и наименьшего по абсолютной величине корня алгебраического уравнения.
Если дано уравнение , то простой, наибольший по абсолютной величине корень можно приближенно найти из уравнения . Приближенное значение меньшего по абсолютной величине корня можно найти из уравнения .
Например,.
) - 1 = 0, = 1 приближенный больший по абсолютной величине корень.
) -- 1 = 0, = - 1 приближенный меньший по абсолютной величине корень.
Способ 4. В уравнении отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение .
Корни уравнения действительны, тогда решаем уравнение и за первое приближение корня берем = .
Левую часть уравнения делим на . Деление проводим по схеме Горнера. Деление проводим до тех пор, пока не останется двучлен вида:, который не делится без остатка на. . Из уравнения находим второе приближение корня = - .Левую часть уравнения делим на по схеме Горнера и получаем остаток в виде и т. д.
Обычно этот процесс приводит к ряду значений,…, приближающихся к искомому корню. После того, как мы остановились на некотором приближении корня и приняли его за искомое значение корня, разделим левую часть уравнения на . Получится многочлен степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения. Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым уравнением поступаем, как было описано выше.
При решении алгебраических уравнений используют также методы последовательных приближений (итерационный метод) [13] и половинного деления отрезка [16, 29].
Метод последовательных приближений
Для того чтобы использовать метод последовательных приближений, уравнение нужно преобразовать к виду , где y(х)=х, j(х)=f(x). Подставляя последовательно в значения , находим - -е приближение к корню уравнения.
Заметим, что если последовательность х0, х1, х2, …, хn, … сходится, т.е. иметь предел, то этот предел будет корнем уравнения.
Например, решим уравнение х2 - х - 1 = 0
х = 1 + 1/х j(х) = 1 + 1/х.
х0 = 2 первое приближение корня;
х1 = 1,5 второе приближение корня;
х2 = 1третье приближение корня; и т. д.
Половинного деления отрезка
Представим уравнение F(x) = 0 в виде y(х) = j(х);
1.Построим графики у = y(х) и у = j(х);
2.Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения.
.Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.
.Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2;
.Если F(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если F(z1) 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции f(x) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку z2=(a1+b1)/2 то снова или F(z2) = 0 или F(z2) 0 и т.д.
Например,
х2 - х - 1 = 0.
x = 1 + 1/х.
Точка пересечения графиков расположена на отрезке [2, 3].
Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.
1)z1 = (1 +2)/2 = 1.5;
Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].
Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
- 1 - 1 = -1;
.52 - 1.5 - 1 = -0.25;
- 2 - 1 = 1;
) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;
Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].
Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.52 - 1.5 - 1 = -0.25;
.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;
- 2 - 1 = 1.
Таким образом, корень расположен на промежутке [1.5; 1.75]. Продолжая процесс можно найти корень с некоторой заданной степенью точности.
Нахождение корней трансцендентных уравнений
При решении трансцендентных уравнений необходимо уравнение F(х) = 0 представить в виде j(х) = y(х). После используют два способа приближенного решения уравнений:
1)Графическое решение.
Строят графики кривых у = j(х) и у = y(х); абсциссы точек пересечения кривых будут искомыми корнями данного уравнения. Далее пользуются методами для нахождения корней алгебраических уравнений.
2) Итерационный метод.
Пусть х = j(х) и y(х) = j(х).
а) графически или методом проб находят первое приближение корня
х = х0, х0 = первое приближение корня.
б) в правую часть уравнения х = j(х) подставим х0 и тогда х1 = j(х).
х1 - второе приближение корня.
в) подставляем в правую часть уравнения х = j(х) значение х1 вместо
х, х2 = j(х1), х2 - третье приближение корня.
г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:
х1 = j(х0);
х2 = j(х1);<