"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
p>3. Метод последовательных приближений
Нахождение приближенного корня методом последовательных приближений для уравнения:
Х2 - 2х - 2 = 0
Х2 = 2х +2 /х
Х = 2 + 2/х
а) графически или методом проб находят первое приближение корня
х = х0. (см. приложение 9, в приложении 10 увеличенные графики с положительной точкой пересечения).
Х0 = первое приближение корня
б) в правую часть уравнения х = 2 + 2/х подставим х0 и тогда х1 = 2 + 2/х0 - второе приближение корня.
в) подставляем в правую часть уравнения х = 2 + 2/х х1 вместо х.
Х2 = 2 + 2/х1 - третье приближение корня.
г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:
х1 = 2 + 2/х0
х2 = 2 + 2/х1
х3 = 2 + 2/х2
х4 = 2 + 2/х3 и т.д. Х0 = 2;
х1 = 3;
х2 = 22.(6);
х3 = 22.75;
х4 = 22.(72);
х5 = 22.7(3);
х6 = 22.7317073;
х7 = 22.7321428.
Метод последовательных приближений не требует построения графиков, так как за начальное приближение корня можно взять любое число. Графики здесь приведены для подтверждения, для геометрической интерпретации. Этот метод менее трудоемкий. Пользуясь им можно найти значение с любой степенью точности.
А для любого ли уравнения этот метод работает? Рассмотрим неполное квадратное уравнение и решим его методом последовательных приближений.
x2 - 7 = 0
x2 = 7 /x
x =
Метод последовательных приближений:
x0 = 3; х1 = 2.(3); х2 = 7: = 3; х3 = 2.(3); х4 = 7: = 3;
х5 = 2.(3); х6 = 7: = 3; х7 = 2.(3).
Мы получаем только два значения. Попробуем в качестве x0 взять другое значение. Пусть x0 = 5; х1 = = 1.4; х2 = 7: = 5; х3 = = 1.4; х4 = 7: = 5; х5 = = 1.4; х6 = 7: = 5; х7 = = 1.4.
Значения не приближаются к корню. (Геометрически: приложение 5, увеличенный график с положительной точкой - приложение 6).
Рассмотрим еще одно уравнение
x2 - 3 = 0
x2 = 3 /x
x =
Метод x0 = 2; х1 = = 1.5; х2 = 3: = 2; х3 = 1.5; х4 = 3: = 2;
х5 = = 1.5; х6 = 3: = 2; х7 == = 1.5.
Мы получаем только два значения. Попробуем в качестве x0 взять другое значение. Пусть x0 = 5; х1 = = 0.6; х2 = 3: = 5; х3 = = 0.6 ;
х4 =3: = 5; х5 = = 0.6; х6 =3: = 5; х7 = = 0.6.
Опять получается только два значения, причем эти значения не приближаются к некоторому числу. (см. приложения 7,8).
Мы нашли два вида уравнений. Для одного вида можно найти корень методом последовательных приближений, а для другого нельзя. Возникает вопрос, от чего это зависит.
Нами было замечено, что в уравнениях, для которых метод последовательных приближений работает, разность между соседними приближениями постоянно уменьшается. В уравнениях, для которых метод последовательных приближений не работает, эта разность остается постоянной. Т. е., выполняется условие:
| x2- x3 | a| x1 - x2 |, a (0, 1).
Применим условие к рассматриваемым уравнениям.
Выполняется ли условие для уравнения X2 - x - 1 = 0?
| x2- x3 | = | | = ;
| x1 - x2 | = || = ;
a , a (0, 1) - условие выполняется.
Выполняется ли условие для уравнения x2 - 7 = 0?
, при a (0, 1) - условие не выполняется.
Мы выделили условие, при выполнении которого можно найти корень уравнения методом последовательных приближений. Это условие является принципом сжимающих отображений. В данной работе доказательство принципа не приводится. Это может быть дальнейшим исследованием.
Вывод
В своей работе мы пришли к выводу, что равенства и , получены из одного уравнения Х2 - х - 1 = 0. При этом, при нахождении значений с помощью равенства , мы получаем более точные значения, так как при нахождении значений предварительного округления не происходит.
При нахождении приближенного значения корня уравнения наиболее оптимальным является метод последовательных приближений. Нами было выделено условие, при соблюдении которого, можно найти корни квадратного уравнения методом последовательных приближений. Это условие можно записать в таком виде: | x2- x3 | a| x1 - x2 |, a (0, 1).
Литература
1.Зверкина Г.Л. Приближенные вычисления. / Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. Ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998.
2.Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.
3.Математика: Школьная энциклопедия. М.: Дрофа, 1997.
4.Энциклопедический словарь юного математика. М.: педагогика, 1989.
.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, Харьковский университет, 1972.
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7
Приложение 8
Приложение 9
Приложение 10