"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
бразом:
X1 = 1 +
X2 =
X3 =
X4 =
X5 =
X6 =
X7 =
X8 =
X9 =
X10 =
При нахождении значений в ходе выполнения операций мы не производили округление.
Было замечено, что оба эти равенства можно записать в общем виде. В самом деле, второе равенство в общем виде будет иметь вид: , а первое равенство в общем виде: . Кроме того, эти уравнения получены из одного:
/
(возведем в квадрат)
Так как равенства получены из одного и того же уравнения, то мы можем сравнить значения и выбрать из них наиболее эффективное равенство.
Выгоднее пользоваться равенством , так как не происходит предварительного округления, а значит, погрешность не накапливается.
В равенстве на 1-4 шагах одна устойчивая цифра, на 5,6 - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 3, 4).
В равенстве на 1,2 шагах одна устойчивая цифра, на 3,4 -две, с пятого шага - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 1, 2).
Таким образом, уравнения и - являются обобщениями наших равенств. При этом, они выведены из одного квадратного уравнения:
X2 - x - 1 = 0.
Заметим, что квадратные уравнения имеют два корня, но мы для простоты исследования возьмем только один - положительный.
2. Нахождение корня уравнения методом половинного деления отрезка
Найдем корень уравнения другим методом. Воспользуемся методом половинного деления отрезка.
Представим уравнение в другом виде: . Построим графики функций: у = х; у = . (Графики представлены в приложении 1). Точка пересечения графиков - корень уравнения. Графики пересекаются в двух точках. Мы будем рассматривать только одну. Второй корень находится по аналогии. Выберем промежуток, на котором находится точка. Это промежуток [1;2]. Пользуясь методом половинного деления получаем следующие результаты.
Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.
2)z1 = (1 +2)/2 = 1.5;
Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].
Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
- 1 - 1 = -1;
.52 - 1.5 - 1 = -0.25;
- 2 - 1 = 1.
) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;
Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].
Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.52 - 1.5 - 1 = -0.25;
.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;
- 2 - 1 = 1.
) z3 = (1.5 + 1.75)/2 = 1.625;
Получили два отрезка: [1.5; 1.625] и [1.625; 1.75].
Для отрезка [1.5; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.52 - 1.5 - 1 = -0.25;
.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625;
.752 - 1.75 - 1 = 0.3125.
) z4 = (1.5 + 1.625)/2 = 1.5625;
Получили два отрезка: [1.5; 1.5625] и [1.5625; 1.625].
Для отрезка [1.5625; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.52 - 1.5 - 1 = -0.25;
.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;
.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.
) z5 = (1.5625 + 1.625)/2 = 1.59375;
Получили два отрезка: [1.5625; 1.59375] и [1.59375; 1.625].
Для отрезка [1.59375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;
.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;
.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.
) z6 = (1.59375 + 1.625)/2 = 1.609375;
Получили два отрезка: [1.59375; 1.609375] и [1.609375; 1.625].
Для отрезка [1.609375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
1.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;
.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;
.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.
) z 7= (1.609375 + 1.625)/2 = 1.6171875;
Получили два отрезка: [1.609375; 1.6171875] и [1.6171875; 1.625].
Для отрезка [1.6171875; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;
.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;
.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.
) z 8= (1.6171875 + 1.625)/2 = 1.62109375;
Получили два отрезка: [1.6171875; 1.62109375] и [1.62109375; 1.625].
Для отрезка [1.6171875; 1.62109375] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;
.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196;
.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.
) z 9= (1.6171875 + 1.62109375)/2 = 1.619140625;
Получили два отрезка: [1.6171875; 1.619140625] и [1.619140625; 1.62109375].
Для отрезка [1.6171875; 1.619140625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;
.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738;
.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196.
) z 10= (1.6171875 +1.619140625) /2 = 1.618164063;
Получили два отрезка: [1.6171875; 1.618164063]и [1.618164063; 1.619140625].
Для отрезка [1.6171875; 1.618164063] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,
.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;
.6181640632 - 1.618164063 - 1 = 0.00029084;
.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738.
На десятом шаге мы нашли корень уравнения с точностью до сотых:
х 1.61.
Метод половинного деления очень трудоемкий, требует построения графиков для определения промежутка, на котором находится корень. Причем, только на десятом шаге мы получили значение с тремя устойчивыми цифрами.
Нахождение корня уравнения методом последовательных приближений
Решим методом последовательных приближений уравнение.
Х2 - х - 1 = 0
Х2 = х +1 /х
Х = 1 + 1/х
а) графически или методом проб находят первое приближение корня
х = х0. (см. график в приложении 1, в приложении 2 представлены графики только с положительной точкой пересечения).
Х0 = первое приближение корня
б) в правую часть уравнения х = 1 + 1/х подставим х0 и тогда х1 = 1 + 1/х0 - второе приближение корня.
в) подставляем в правую часть уравнения х = 1 + 1/х х1 вместо х.
Х2 = 1 + 1/х1 - третье приближение корня.
г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:
х1 = 1 + 1/х0
Х2 = 1 + 1/х1
Х3 = 1 + 1/х2
Х4 = 1 + 1/х3 и т.д.
Были получены следующие значения:
Х0 = 2;
Х1 = 1,5;
Х2 = ;
Х3 = = 1.6;
Х4 = =1.625;
Х5 = 1.6154;
Х6 = 1.6191;
Х7 = 1.6177;
Х8 = ;
Х9 =
Х10 =
<