"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
адшего разряда. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. Выделим причины возникновения погрешностей при решении задач:
1)математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;
2)применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;
)при выполнении арифметических операций производятся округления.
Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.
Типы погрешности, соответствующие этим причинам:
1)неустранимая погрешность:
погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;
погрешность математической модели:
погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;
2)погрешность метода;
3)вычислительная погрешность.
В нашей работе затронут один тип погрешности, а именно, вычислительная погрешность. Она появляется при нахождении корней квадратных уравнений, при выполнении арифметических операций.
Заметим, что квадратным уравнением называют уравнение вида:
2 + bx + c = 0,
а квадратным корнем из числа A называют такое число, которое в квадрате дает число A.
При решении математических задач, далеко не всегда бывает нужно знать абсолютно точный ответ, достаточно найти его приближенное значение, с приемлемой точностью. Более того, часто указать точный результат в виде числа невозможно. Например, при решении некоторого уравнения в ответе мы получили . Чтобы получить числовой результат, следует заглянуть в таблицы квадратных уравнений или вооружиться калькулятором. Ну а если в нужный момент их не окажется под рукой, то придется рассчитывать только на свои силы. Существует много способов приближенного вычисления корней.
Приближенное значение можно найти с заданной точностью, например, с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых и т. д.
Остановимся подробнее на термине приближение. Приближенным значением числа A называют число a, незначительно отклоняющееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. Если а A - приближенное значение А по избытку.
Под скоростью сходимости мы подразумеваем то, насколько быстро некоторое число приближается к корню заданного уравнения.
При нахождении корней квадратного уравнения мы использовали два метода: последовательных приближений и половинного деления.
Чтобы пользоваться этими методами, необходимо квадратное уравнение f(x) = 0 переписать в виде . Будем рассматривать уравнение .
Метод последовательных приближений
а) графически или методом подбора находят первое приближение корня уравнения .
х = х0 - первое приближение корня.
б) в уравнение подставим х0 и тогда х1 = - второе приближение корня.
в) подставляем в уравнение х1 = х1 вместо х0.
х2 = - третье приближение корня.
г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:
х1 = ;
х2 = ;
х3 = ;
х4 = и т.д.
Этот метод имеет геометрическую интерпретацию:
а) изобразим кривые у = х и у = .
б) выберем некоторое приближенное значение корня х0.
в) проведем прямую х = х0.
г) прямая встретит рассматриваемые кривые в двух точках, выберем наиболее подходящую точку.
д) по найденному значению х = х0 определяем значение у = .
х0 - первое приближение корня.
Метод проделан на графиках, представленных в приложении.
Метод половинного деления
1.Построим графики функций:
у = х
у = .
2.Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.
3.Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2 ;
.Если f(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если f(z1) 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции у = f(х) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку Z2=(a1+b1)/2 то снова или f(z2) = 0 или f(z2) 0 и т.д.
В ходе работы нами были выделены критерии оценки методов:
. Вычислительная погрешность.
.Точность, которую вычисляют с помощью погрешностей и построения графиков.
.Быстрота - это то, как быстро можно вычислить приблизительно точные значения.
II. Практическая часть
1. Нахождение значений двух равенств и определение более точного равенства
В самом начале работы нами были рассмотрены равенства:
) . 2)
В первом равенстве х мы находили двумя способами. Опишем эти способы подробнее.
Способ 1: При нахождении х мы производили операцию округления в ходе решения.
Х1 = 1,4142; Х2 = 1,5538;
Х3 = 1,5981; Х4 = 1,6118;
Х5 = 1,6161;
Х6 = 1,6174;
Х7 = 1,61785;
Х8 = 1,61798;
Х9 = 1,6180.
Способ 2: Этот способ очень трудоемкий. Уже на втором шаге нужно проделывать большое количество операций.
А) Х1 =
х= 2
х1 = 1,4142;
б) Х2 =
х= 1 + 2+ 1 +1 = 3 + 2
Таким образом, при нахождении значения удобнее пользоваться первым способом. Он менее трудоемкий. Второй способ более трудоемкий и при этом также требует предварительного округления, например, при нахождении .
Значения второго равенства мы находили следующим о