"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения (возможны два способа). При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить или отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают или отнимают, а потом округляют до десятых. В результате получаются разные ответы. Возникает вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, ученики должны прийти к выводу, что произошло накопление погрешности.
Погрешность произведения. В задаче нужно произвести измерения, найти погрешность каждого измерения, а затем погрешность произведения. Далее нужно найти погрешность произведения не находя погрешности каждого измерения. В результате нужно прийти к формуле для нахождения погрешности произведения.
-Приближенное решение уравнений. Предлагается решить квадратное уравнение разными методами: подбора, последовательных приближений, половинного деления отрезка. В задаче формулируются проблемы. Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен? Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен? Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?
Факультативный курс был опробован в лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе, в течение трех месяцев.
У разработчиков курса возникла гипотеза, что темами творческих работ могут быть исследовательские задачи из приближенных вычислений. Третья глава посвящена творческой задаче. Здесь приведен опыт написания творческой работы по теме: Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений. В работе из нескольких способов для приближенного нахождения корней квадратного уравнения был выделен наиболее эффективный. Затем было обнаружено, что способ работает не для всех уравнений, после было найдено условие, при соблюдении которого способ работает. Работа была выполнена в рамках Школы молодого ученого при Гимназии № 1 Универс, защищена на школьной конференции. В работе была отмечена грамотность проделанного исследования.
Таким образом, ряд задач связанных с приближенными вычислениями, можно вводить в рамках факультативных курсов и предлагать в качестве тем творческих работ, что позволит расширить представление учащихся и откроет новую область для исследования.
Глава 1. Приближенные вычисления в математике и школьной программе
1. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений
Чтобы понять роль приближенных вычислений в школьной математике познакомимся с их ролью в науке. Подчеркнем важность и широкое применение приближенных вычислений.
В ходе анализа следующей [6, 13, 16, 17, 19, 29] литературы нами были выделены ряд направлений, с которыми связана необходимость приближенных вычислений.
1)нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы), [6];
2)приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений, [13, 16, 19, 29];
)приближенные формулы, [17];
)приближение функции, [13, 17].
Остановимся на каждом направлении подробнее.
1. Нахождение численного решения прикладных задач
При нахождении численного решения прикладных задач (напр., изучение явлений природы, получение их математического описания, т. е. математической модели явления и его исследования) нельзя обойтись без приближенных вычислений. Анализ усложненных моделей требует создания специальных, численных методов решения задач. Необходимо знание, насколько тот или иной метод точен, а для этого нужно обратиться к приближенным вычислениям.
2. Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений
Приближенное нахождение значений иррациональных чисел, нахождение решения алгебраических и трансцендентных уравнений - это задача теории чисел. При решении этой задачи необходимо оценивать точность приближения, в результате развивается аппарат, связанный с погрешностью.
Умение оперировать с приближенными числами дает возможность для приближенного решения уравнений (алгебраических и трансцендентных). В пособии [27, с. 78] алгебраическим называют комплексное или действительное число x0, удовлетворяющее уравнению вида
,
где числа a0, a1, …, an целые, и не все равны нулю, а n - натуральное. Всякое действительное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
При нахождении решений алгебраических и трансцендентных уравнений решается две общих задачи:
) получить метод, дающий возможность улучшить приближения;
) получить приближенное решение с заранее заданной степенью точности.
В [13] различают методы для нахождения приближенных корней алгебраических и трансцендентных уравнений.
Нахождение корней алгебраического уравнения
Для приближенного нахождения корней алгебраического уравнения нужно по правилу Декарта определить число положительных и отрицательных корней, после отделить их. Отделив корень, мы получаем возможность, в качестве его приближенного значения взять любое число из выделенного отрезка.
Отделение действительных корней уравнения F(x) = 0 очень удобно производить графически. Значения действительн