Разработка факультативного курса "Применение метода интервалов при решении неравенств"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
жение справа от точки положительно, а слева от точки отрицательно.
Суть обобщенного метода интервалов состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа , в промежутке справа от ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку , меняют знак, если - нечетное число, и сохраняют знак, если - четное число. После этого множество решений определяется, как в обычном методе интервалов. [26]
Аналогично поступают и при решении нестрогих неравенств рассматриваемого вида:
(7)
или
(8),
где - натуральные числа, - различные действительные числа, такие что . Но, опять же, с тем отличием, что при решении неравенств вида (5), (6) на числовой оси отмечают незакрашенные точки, исключая их из решения, а при решении нестрогих неравенств - точки включаются в общее решение (точки на числовой оси отмечают закрашенными).
. Решить неравенства:
3) Ответ: .
) Ответ:.
) Ответ: .
) Ответ: [-1;2].
Р е ш е н и е.
3)
Перепишем исходное неравенство в виде (5):
.
Отметим на числовой оси точки 4,5,8 (незакрашенные), которые разбивают ее на четыре промежутка . На крайнем правом из полученных промежутков знак левой части неравенства положителен, т.к. множитель имеет нечетную (первую) степень, то при переходе через точку меняем знак на отрицательный (кривая знаков будет проходить под осью ). Множитель имеет четную (вторую) степень, значит, на интервале сохраняем отрицательный знак. При переходе через точку знак левой части неравенства поменяем на противоположный, т.к. множитель имеет нечетную (третью) степень, т.е. кривая знаков на промежутке будет проходить над числовой осью.
00 0
5 8
Ответ: .
)
Прежде чем использовать для решения обобщенный метод интервалов, необходимо привести исходное неравенство к виду (7):
.
Теперь можем провести кривую знаков, беря во внимание степени множителей, входящих в неравенство:
? ? ?
1 2
Учитывая знаки неравенства, запишем ответ.
Ответ: .
)
Для решения данного неравенства необходимо левую его часть разложить на множители. Здесь будет удобно ввести новую переменную . Тогда исходное неравенство примет вид квадратного неравенства:
.
Воспользуемся методом интервалов:
00
18
В результате получили и . Сделав обратную замену переменной, найдем решение в каждом из случаев.
а)
б)
Объединение найденных решений будет решением исходного неравенства.
Ответ: .
)
Здесь введение новой переменной ничем не поможет. Попробуем подобрать хотя бы один из корней соответствующего уравнения. является таковым, тогда уравнение можно переписать в виде (где выражение - это частное деления левой части уравнения на ). Теперь подберем значение переменной, обращающее в нуль второй множитель последнего уравнения. Это . Значит, мы получим уравнение . Выражение принимает только положительные значения, поэтому можем вернуться непосредственно к исходному неравенству, которое равносильно следующему:
.
Применив метод интервалов, найдем решение неравенства и запишем ответ.
??
2
Ответ: [-1;2].
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
)* Ответ: (-1;1).
Занятие №2
1. Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.
Рассматриваемый ранее метод интервалов с небольшими изменениями и дополнениями и может быть использован для решения не только рациональных, но и для дробно-рациональных неравенств вида
(9),
где , - многочлены, причем , а символ есть одно из неравенств: , , , . Применительно к таким неравенствам этот метод включает в себя следующие операции.
1.Нахождение области определения левой части неравенства (кратко ОДЗ).
2.Нахождение корней числителя и знаменателя.
.Нанесение найденных корней на числовую ось, причем с учетом ОДЗ (т.е. принимая во внимание строгость или нестрогость знака неравенства).
.Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках.
.Выяснение принадлежности концов полученных промежутков (нулей числителя и знаменателя) множеству решений неравенства.
.Выбор промежутков, соответствующих знаку неравенства, и запись ответа. [30]
. Утверждения о равносильности неравенств.
1)
)
)
)
. Решить неравенства:
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
Р е ш е н и е.
)
Перепишем исходное неравенство, используя утверждение 1) о равносильных переходах в неравенствах:
.
Применим для решения метод интервалов, преобразовав полученное неравенство к виду (2):
.
0 0 0
5
Ответ: .
)
Можно начать решение с выписывания ОДЗ, но в нашем случае удобнее будет воспользоваться утверждением 3), где учтены ограничения по ОДЗ. Таким образом исходное неравенство равносильно следующей системе:
Применим обобщенный метод интервалов для решения первого неравенства последней системы.