Разработка факультативного курса "Применение метода интервалов при решении неравенств"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
В°тривается применение метода интервалов при решении неравенств следующих видов:
1)рациональные неравенства (занятие № 1) и дробно-рациональные неравенства (занятия № 2-4);
2)иррациональные неравенства (занятия № 5-7);
)показательные неравенства (занятие № 8) и логарифмические неравенства (занятие № 9);
)неравенства с параметрами (занятие № 10).
В начале каждого из занятий рассматриваются либо решения простейших неравенств, либо приводятся утверждения о равносильных переходах в неравенствах iелью систематизации знаний учащихся по теме.
В конце каждого из занятий предлагаются задания для самостоятельного выполнения с различным уровнем сложности, а так же задания, отмеченные (*), решения которых не является обязательным. Для того, чтобы проверить качество работы на факультативе и качество уровня подготовки учащихся, после занятий № 4, № 7 предложены задания для домашней самостоятельной работы, после занятия № 10 - итоговая домашняя самостоятельная работа. По результатам самостоятельных работ каждый учащийся может получить рекомендации учителя по дальнейшему изучению данной темы.
Уточним, что подобранная система упражнений подразумевает наличие у учащихся базовых ЗУН по решению уравнений и неравенств рассматриваемых видов, знание свойств линейных, показательных, логарифмических функций.
Так как в организации факультатива и его разработке могут принимать участие сами старшеклассники, то система упражнений может изменяться и дополняться.
3. Содержание факультативного курса Применение метода интервалов при решении неравенств
Занятие №1
1. Преобразование неравенств.
Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.
Два неравенства называются равносильными на множествах, если множества их решений совпадают.
Утверждения о равносильности неравенств.
1. .
. , если .
3. , если .
4. , если .
. Метод интервалов для рациональных неравенств.
Для решения рациональных неравенств вида
(1)
Или
(2),
где - данные числа, удовлетворяющие условию , применяется метод интервалов, в основе которого лежит следующее свойство двучлена : точка делит числовую ось на две части - справа от точки двучлен положителен, а слева от точки - отрицателен. [26]
Суть метода интервалов состоит в следующем: на числовой оси отмечают числа , которые разбивают ее на промежутки; в промежутке справа от ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку меняют знак, т.е. в промежутке левее ставят знак - ,затем знак + и т.д. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак - .
Для решения рациональных неравенств вида
(3)
или
(4),
где - данные числа, удовлетворяющие условию , применяется тот же самый метод интервалов, но с одной лишь оговоркой: если при решении неравенств (1), (2) на числовой оси отмечались пустые (незакрашенные) точки в силу строгости неравенств, то в данном случае необходимо изображать закрашенные точки, т.к. удовлетворяют неравенствам (3) или (4).
. Решить неравенства:
1) (x - 2)(x - 3)(x - 12)0 Ответ: .
) Ответ: .
Р е ш е н и е.
) (x - 2)(x - 3)(x - 12)0
Отметим на числовой оси точки 2, 3, 12 (пустые), которые разбивают ее на четыре промежутка: . На каждом из этих промежутков левая часть исходного неравенства сохраняет постоянный знак.
0 0 0
2312
На крайнем правом промежутке знак левой части неравенства положителен. При переходе через знак меняется на противоположный, т.е. на промежутке (3;12) знак левой части неравенства отрицателен и т.д. В результате получаем следующий вид кривой знаков
0 0 0
312
Значит решением неравенства является объединение интервалов и .
Ответ: .
)
Необходимо привести данное неравенство к виду (4), для чего выражение разложим на линейные множители ; выражения и преобразуем к виду , ; уравнение действительных корней не имеет, а это значит, что при любых значениях , и данный множитель не влияет на знак неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
.
Разделив на отрицательное число , получим уже равносильное ему неравенство, записанное в стандартном виде (3):
.
Изобразим на числовой оси точки (закрашенные) и проведем кривую знаков.
??? ? ?
01
Решением неравенства является объединение трех интервалов.
Ответ: .
. Обобщенный метод интервалов для рациональных неравенств.
Иногда рациональные неравенства степеней более высоких, чем два, путем равносильных преобразований приводят к виду
(5)
Или
(6),
где - натуральные числа, - различные действительные числа, такие что .
Такие неравенства могут быть решены с помощью так называемого обобщенного метода интервалов, в основе которого лежит следующее свойство двучлена : точка делит числовую ось на две части, причем:
а) если четное, то выражение справа и слева от точки сохраняет положительный знак,
б) если нечетное, то выра