Разработка факультативного курса "Применение метода интервалов при решении неравенств"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
p>
? 0 0
0 4
Во всех полученных интервалах левая часть неравенства принимает положительные значения, но в силу знака неравенства имеем один корень .
Ответ: .
Замечание. Можно было и не производить никаких действий по решению данного неравенства, а воспользоваться здравым смыслом. В левой части неравенства все множители имеют четную степень, а значит положительны при любых значениях переменной . Но в числители имеем еще один множитель (-1), значит вся дробь будет принимать лишь отрицательные значения. Беря во внимание знак неравенства, можно сделать вывод о том, что неравенство имеет решения лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а именно при .
)
Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся при решении неравенства утверждением 4), а затем методом интервалов. Но сначала необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и привести исходное неравенство к виду (9). Поработаем отдельно с числителем и знаменателем.
Одним из корней числителя является число . Значит выражение
можно переписать в следующем виде:
= .
Найдя так же методом подбора корень знаменателя , получим
= = .
В результате перепишем исходное неравенство в следующем виде:
0 0? ? 0 ?
1 2
Ответ: .
. Правило ромашки.
Существует еще один способ для определения знаков на промежутках, получаемых в ходе решения неравенств. Этот способ применяется для решения неравенств вида (соответственно ), где
,
где - натуральные числа.
Способ ромашки скорее служит для забавы (хотя и работает), поэтому его мы сразу поясним на примере.
Решить неравенство:
5)
Р е ш е н и е.
ОДЗ:
Корни числителя: 1;-1;4.
а) Отметим на числовой оси полученные точки - нули числителя и знаменателя.
б) Найдем знак левой части неравенства на крайнем правом промежутке. Для этого возьмем, например, . Имеем:
.
в) Начнем вести волнообразную кривую, начиная ее правее и выше крайней правой точки 4. Когда кривая подойдет к точке 4, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 5, значит кривая должна пять раз коснуться точки 4 и идти дальше к точке 2. Когда кривая подойдет к точке 2, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки 2 и идти дальше к точке 1. Когда кривая подойдет к точке 1, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки 1 и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 1, значит кривая должна один раз коснуться точки и идти дальше.
0 0?? 0 ?
1 2 4
Из получившейся схемы видно, почему способ называется способ ромашки.
г) Теперь знаки определяются совсем просто. В пункте б) мы уже нашли знак на крайнем правом промежутке - это знак минус. Теперь знаки должны чередоваться, но при этом нельзя пропустить ни один лепесток ромашки:
0 0?? 0 ?
1 2 4
Из полученной схемы уберем все лишнее и отметим штриховкой промежутки, на которых
:
0 0? ? 0 ?
1 2 4
Ответ: .
Решить неравенство:
) Ответ: (-1;2).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
Занятие №3
На предыдущем занятии предлагалось решить дробно-рациональные неравенства, содержащие одну дробь. На этом же занятии целесообразно предложить задания, в которых присутствует сумма нескольких дробей и линейных выражений, для решения которых необходимо привести с помощью равносильных преобразований исходные неравенства к виду (9) (см. предыдущее занятие), а затем применить метод интервалов.
Решить неравенства:
1) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: (-2;1).
) Ответ: .
) Ответ: .
Р е ш е н и е.
)
Перенесем все члены неравенства в левую часть, получим
.
Приведя дроби к общему знаменателю и приведя подобные слагаемые в числителе, получим следующее выражение:
.
Применяя метод интервалов, заключаем, что решением неравенства является объединение двух промежутков: и .
0 0 0
3
Ответ: .
)
Перенесем все члены неравенства в левую часть и воспользуемся формулой квадрата суммы:
.
Пусть , причем , т.к. выражение принимает положительные значения при любых . Тогда неравенство примет вид
.
Домножим обе ча