Разработка факультативного курса "Применение метода интервалов при решении неравенств"

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика



p>

? 0 0

0 4

Во всех полученных интервалах левая часть неравенства принимает положительные значения, но в силу знака неравенства имеем один корень .

Ответ: .

Замечание. Можно было и не производить никаких действий по решению данного неравенства, а воспользоваться здравым смыслом. В левой части неравенства все множители имеют четную степень, а значит положительны при любых значениях переменной . Но в числители имеем еще один множитель (-1), значит вся дробь будет принимать лишь отрицательные значения. Беря во внимание знак неравенства, можно сделать вывод о том, что неравенство имеет решения лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а именно при .

)

Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся при решении неравенства утверждением 4), а затем методом интервалов. Но сначала необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и привести исходное неравенство к виду (9). Поработаем отдельно с числителем и знаменателем.

Одним из корней числителя является число . Значит выражение

можно переписать в следующем виде:

= .

Найдя так же методом подбора корень знаменателя , получим

= = .

В результате перепишем исходное неравенство в следующем виде:

0 0? ? 0 ?

1 2

Ответ: .

. Правило ромашки.

Существует еще один способ для определения знаков на промежутках, получаемых в ходе решения неравенств. Этот способ применяется для решения неравенств вида (соответственно ), где

,

где - натуральные числа.

Способ ромашки скорее служит для забавы (хотя и работает), поэтому его мы сразу поясним на примере.

Решить неравенство:

5)

Р е ш е н и е.

ОДЗ:

Корни числителя: 1;-1;4.

а) Отметим на числовой оси полученные точки - нули числителя и знаменателя.

б) Найдем знак левой части неравенства на крайнем правом промежутке. Для этого возьмем, например, . Имеем:

.

в) Начнем вести волнообразную кривую, начиная ее правее и выше крайней правой точки 4. Когда кривая подойдет к точке 4, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 5, значит кривая должна пять раз коснуться точки 4 и идти дальше к точке 2. Когда кривая подойдет к точке 2, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки 2 и идти дальше к точке 1. Когда кривая подойдет к точке 1, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки 1 и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 1, значит кривая должна один раз коснуться точки и идти дальше.

0 0?? 0 ?

1 2 4

Из получившейся схемы видно, почему способ называется способ ромашки.

г) Теперь знаки определяются совсем просто. В пункте б) мы уже нашли знак на крайнем правом промежутке - это знак минус. Теперь знаки должны чередоваться, но при этом нельзя пропустить ни один лепесток ромашки:

0 0?? 0 ?

1 2 4

Из полученной схемы уберем все лишнее и отметим штриховкой промежутки, на которых

:

0 0? ? 0 ?

1 2 4

Ответ: .

Решить неравенство:

) Ответ: (-1;2).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

) Ответ: .

) Ответ: .

) Ответ: .

) Ответ: .

) Ответ: .

) Ответ: .

Занятие №3

На предыдущем занятии предлагалось решить дробно-рациональные неравенства, содержащие одну дробь. На этом же занятии целесообразно предложить задания, в которых присутствует сумма нескольких дробей и линейных выражений, для решения которых необходимо привести с помощью равносильных преобразований исходные неравенства к виду (9) (см. предыдущее занятие), а затем применить метод интервалов.

Решить неравенства:

1) Ответ: .

) Ответ: .

) Ответ: (-2;1).

) Ответ: .

) Ответ: .

Р е ш е н и е.

)

Перенесем все члены неравенства в левую часть, получим

.

Приведя дроби к общему знаменателю и приведя подобные слагаемые в числителе, получим следующее выражение:

.

Применяя метод интервалов, заключаем, что решением неравенства является объединение двух промежутков: и .

0 0 0

3

Ответ: .

)

Перенесем все члены неравенства в левую часть и воспользуемся формулой квадрата суммы:

.

Пусть , причем , т.к. выражение принимает положительные значения при любых . Тогда неравенство примет вид

.

Домножим обе ча