Разработка факультативного курса "Применение метода интервалов при решении неравенств"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
неравенства.
0
При получим верное неравенство: ; при получим неверное: .
Ответ: .
)
Рассмотрим уравнение
.
Введем новую переменную , причем (данное ограничение будет совпадать с ОДЗ исходного неравенства). Тогда уравнение примет вид: . Корнями полученного квадратного уравнения являются и . Так как мы потребовали, чтобы , то, возвращаясь к исходной переменной, получим корень . С учетом ограничения значений переменной , числовая ось разобьется на два промежутка.
?0
064
На промежутке исходное неравенство выполняться не будет (так как, например, при получим: ).
На промежутке исходное неравенство выполняется (при получим: ).
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
4) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
)* Ответ: .
Занятие №8
На последующих двух занятиях мы будем решать показательные и логарифмические неравенства, применяя обобщенный метод интервалов. Кроме того, в некоторых случаях для проверки выполнимости неравенств мы будем использовать свойства функций (монотонность), входящих в условие неравенств.
Поэтому напомним:
) если основание степени (логарифма) больше единицы, то график соответствующей функции монотонно возрастает;
) если основание степени (логарифма) меньше единицы (но больше нуля), то график соответствующей функции монотонно убывает.
Начнем с решения показательных неравенств. Показательными неравенствами называют неравенства вида , где - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. [23, с.285]
Решить неравенства:
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
Р е ш е н и е.
)
Решение начнем с определения ОДЗ:
Рассмотрим уравнение . Домножив обе части уравнения на ненулевое выражение знаменателя (это мы уже определили в ОДЗ), получим равносильное уравнение:
.
Нанесем на числовую ось точки: и (пустые), 2 (закрашенную). Проверим выполнимость неравенства на каждом из полученных интервалов.
0 0 ?
2
В нашем случае будет удобнее воспользоваться не методом пробных точек, а анализом поведения функций, входящих в неравенство.
В числителе имеем показательную монотонно возрастающую функцию (так как основание ). При : , значит функция будет принимать положительные значения; при функция будет принимать отрицательные значения.
В знаменателе находиться квадратичная функция, принимающая положительные значения на крайних от ее корней интервалах, отрицательные - на интервале между корнями.
Принимая во внимание знак неравенства, нам остается лишь выбрать из промежутков те, на которых обе функции (и в числителе и в знаменателе) принимают одновременно либо отрицательные, либо положительные значения. Таковыми являются и .
Ответ: .
)
ОДЗ: .
Так как на всей ОДЗ, то знак неравенства не изменится, если мы умножим обе части неравенства на это выражение. То есть исходное неравенство равносильно следующему:
.
Решим уравнение:
.
Нанесем все найденные точки на числовую ось.
0? ?
12 5
На промежутках и рассматриваемое неравенство не выполняется (так, например, при получим
, при получим ).
На промежутках и неравенство выполняется (например, при получим
,
при получим
).
Ответ: .
)
ОДЗ: .
Решим уравнение . Произведем замену: (). Перепишем уравнение в виде
Но так как мы ввели ограничение , то из найденных корней подходит лишь . Возвращаясь к исходной переменной, получим:
.
Нанесем на числовую ось точку и проверим выполнимость исходного неравенства на ОДЗ.
? 0
0
При (точка из интервала ) получим неверное неравенство: .
На интервале исходное неравенство выполняется (так, например, при получим ). Значит ответ запишем в следующем виде:
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
) Ответ: .
Занятие №9
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида , где - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. [23, с.308]
При решении логарифмических неравенств нельзя забывать об условиях существования логарифма :
Решить неравенства:
1) Ответ: .
) Ответ: (1;2).
) Ответ: (1;100).
) Ответ: .
Р е ш е н и е.
)
ОДЗ: .
Рассмотрим уравнение . Найдем его корни.
Корень не входит в ОДЗ неравенства. Поэтому на числовую ось нанесем все найденные точки, за исключением данной.
0? ?
12 8
Методом пробной точки определим знак неравенства на каждом из промежутков.
а)
При получим следующее: , что совпадает со знаком исходного неравенства. На схеме ставим знак +.
б)
При получим следующее: . Значит интервал отмечаем знак