Информация по предмету Математика и статистика

821. Теория "большого взрыва"
Другое Математика и статистика

Вернемся к изначальной проблеме, для решения которой Гут создал инфляционную модель: проблеме точной параметризации исходного состояния Вселенной. Без такой параметризации невозможно получить наблюдаемое распределение материи во Вселенной. Как мы убедились, решить эту проблему Гуту не удалось. Более того, сомнительной представляется сама возможность того, что какая-нибудь версия теории большого взрыва, включая версию Гута, может предсказать наблюдаемое распределение материи во Вселенной. Высокоорганизованное исходное состояние в модели Гута, по его же словам, в конце концов, превращается во “Вселенную” диаметром 10 сантиметров, наполненную однородным сверхплотным, перегретым газом. Она будет расширяться и остывать, но нет никаких оснований предполагать, что она когда-нибудь превратится в нечто большее, чем однородное облако газа. По сути дела, к этому результату приводят все теории большого взрыва. Если Гуту пришлось пускаться на многие ухищрения и делать сомнительные допущения, чтобы в конце концов получить Вселенную в виде облака однородного газа, то можно представить себе, каким должен быть математический аппарат теории, приводящей ко Вселенной в том виде, в каком мы ее знаем! Хорошая научная теория дает возможность предсказывать многие сложные природные явления, исходя из простой теоретической схемы. Но в теории Гута (и любой другой версии теории большого взрыва) все наоборот: в результате сложных математических выкладок мы получаем расширяющийся пузырь однородного газа. Несмотря на это, научные журналы печатают восторженные статьи об инфляционной теории, сопровождающиеся многочисленными красочными иллюстрациями, которые должны создать у читателя впечатление, что Гут наконец достиг заветной цели - нашел объяснение происхождения Вселенной. Мы бы не стали торопиться с такими заявлениями. Честнее было бы просто открыть постоянную рубрику в научных журналах, чтобы публиковать в ней теорию происхождения Вселенной, модную в этом месяце.
822. Теория вектора
Другое Математика и статистика
823. Теория вероятностей
Другое Математика и статистика

Классическое определение вероятности (в весьма несовершенной форме) впервые появляется у Я.Бернулли, в его сочинении «Искусство предположений» (1713). В первой главе четвёртой части этой книги он писал: Вероятность же есть степень достоверности и отличается от неё, как часть от целого». В эту формулировку Я. Бернулли вкладывал современный смысл, что видно из его последующих слов: «Именно, если полная и безусловная достоверность, обозначаемая нами буквой ? или 1(единицей),будет, для примера, предположена состоящий из пяти вероятностей, как бы частей, из которых три благоприятствуют существованию или осуществлению какого-либо события, остальные же не благоприятствуют, то будет говориться, что это событие имеет 3?/5 или 3/5 достоверности». В дальнейшем он писал об отношении числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных, предполагая эти случаи равновозможными, но специально не оговаривая этого. Из этого высказываний следует, что Бернулли владел и статистическим понятием вероятности. Им было введено в рассмотрение и использование понятие вероятности случайного события как числа, заключённого между 0 и 1. Достоверному событию приписывалось единица (максимальное значение), а невозможному - нуль (минимальное значение). Было ясно сказано, что это число может быть определено двумя способами:1)как отношение числа случаев, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных случаев; 2)как частота события при проведении большого числа независимых испытаний. Можно сказать, что с этого момента начинается история теории вероятностей.
824. Теория вероятностей и случайных процессов
Другое Математика и статистика

024681012x18-3,329-5,2297,681-1,164-6,7136,751x203,637-3,027-1,1183,957-2,176-2,146x30-1,227-1,2351,5940,5650,777-2,609x45-1,998-2,7583,17-0,309-0,647-0,54x50-2,502-1,6060,276-0,086-0,7251,086x67-0,3241,008-1,245-6,4370,99-2,705x70000000x801,819-1,514-0,5591,979-1,088-1,073x93-1,248-1,9612,881-0,437-2,5172,532x100-0,161-0,3170,260,0260,372-0,394x1141,697-2,561-3,869-0,7223,2573,485x120-2,3770,44-0,943-3,79-0,888-0,91x132-0,832-1,3071,92-0,291-1,6781,688x1400,909-0,757-0,2790,989-0,544-0,537
825. Теория вероятностей: наука о случайном
Другое Математика и статистика

Вот множество исходов опыта: «В сумме выпало 2 очка», «В сумме выпало 3 очка»,…, «В сумме выпало 12 очков». Нас интересуют события A = «выпало 7 очков» и B = «выпало 8 очков». Но это не равновероятные исходы опыта, как может показаться с первого раза. Действительно, 2 в сумме может получиться единственным образом: 2 = 1+1, а 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, следовательно, шансов на то, что выпадет 4, больше. Рассмотрим такое множество событий: «на одной кости выпало k очков, а на другой кости выпало p очков». . Но это тоже не равновероятные исходы. Чтобы получить равновероятностные исходу опыта, покрасим кости в разные цвета (черный и белый). В итоге мы имеем: «на белой кости выпало k очков, на черной p». Обозначим это (k; p). Два таких события попарно несовместны. Число всех возможных исходов n = 62 = 36 (каждое из 6 очков на белой кости может сочетаться с любым из 6 очков на черной кости). Из этих 36 исходов событию A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем:
826. Теория вероятности
Другое Математика и статистика

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
827. Теория вероятности и мат статистика
Другое Математика и статистика

Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину. Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой длинны, длину устремляют к нулю. При этом x принадлежит отрезку. Вероятность того, что отрезок содержит x равна . При ситуация эквивалентна следующему: имеется бесконечное множество лотерейных билетов, один ваш. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью вероятности.
828. Теория графов
Другое Математика и статистика

"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре A, B, C, D. Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным по три моста, т. е. Число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетно, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило: если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка. Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов. Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно… если можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать".
829. Теория групп — наука о совершенстве
Другое Математика и статистика

Примерами групп, известных нам с начальной школы, являются целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению, ненулевые рациональные, действительные, комплексные числа по умножению. Все эти группы являются абелевыми. Другой важный пример групп дает нам следующая конструкция. Пусть X произвольное множество и SymX множество всевозможных биекцией множества X на себя. Зададим умножение на SymX как композицию. Тогда SymX относительно операции композиции является группой и называется симметрической группой на множестве X или группой подстановок (иногда используется также термин группа перестановок, но нам он кажется неудачным, об этом чуть ниже). Если множество X конечно и |X| = n, то можно считать, что X = {1, ..., n} и SymX обозначается за Symn. Если ? некоторое свойство отображений, которое сохраняется при композиции, то подмножество отображений, удовлетворяющих свойству ?, группы SymX образует подгруппу группы SymX. Покажем, что композиция отображений удовлетворяет аксиоме ассоциативности (ГР1) (проверка остальных аксиом существенно проще, они вытекают из определения биекции). Для того, чтобы доказать, что композиция отображений ассоциативна, необходимо сначала понять, когда же отображения равны. Несмотря на очевидность определения, оно нередко вызывает сложности. Отображения ? : A > B и ? : A > B (где A, B произвольные множества) равны, если для любого x A его образы x? и x? равны. Пусть теперь ?, ?, ? SymX и x X. Тогда x((??)?) = (x(??))? = ((x?)?)?, с другой стороны, x(?(??)) = (x?)(??) = ((x?)?)?, что доказывает ассоциативность композиции.
830. Теория игр
Другое Математика и статистика

Прежде всего необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет чистых стратегий, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями. В противном случае один из игроков (например 1) имеет чистую оптимальную стратегию, а другой только смешанные. Не ограничивая общности, можно считать, что оптимальной стратегией игрока 1 является выбор с вероятностью 1 первой строки. Далее, по свойству 1 следует, что а11 = а12 = и матрица имеет вид
831. Теория игр. Корпоративные игры
Другое Математика и статистика

ИГР ТЕОРИЯ - раздел математики, предметом которого является анализ принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Возникнув из задач классической теории вероятностей, теория игр превратилась в самостоятельный раздел в 1945-1955. Таким образом, теория игр - один из новейших разделов математики. Наиболее полное изложение идей и методов теории игр впервые появилось в 1944 в труде Теория игр и экономическое поведение (Theory of Games and Economic Behavior) математика Дж. фон Неймана (1903-1957) и экономиста О. Моргенштерна (1902-1977). Фон Нейман опубликовал несколько работ по теории игр в 1928 и 1935; другим предшественником теории игр по праву считается французский математик Э. Борель (1871-1956). Некоторые фундаментальные идеи были независимо предложены А. Вальдом (1902-1950), заложившим основы нового подхода к статистической теории принятия решений.
832. Теория информации
Другое Математика и статистика

Теперь рассмотрим, какие вопросы выгоднее всего задавать. Во-первых, нужно, чтобы энтропия была возможно большей (то есть действительно равнялась одному биту), а значит оба варианта ответа должны быть равновероятны. Далее нужно, чтобы информация I(б1, А) относительно А, заключённая в б1, равнялась энтропии Н (б1) опыта б1, а не была бы меньше этой величины. Для этого надо, чтобы ответ на первый вопрос не содержал «посторонней» информации, то есть чтобы условная энтропия На (б1) равнялась нулю. Эти условия достаточно ясно указывают на то, как нужно поставить первый вопрос. Разобьём множество всех возможных значений нашей переменной (то есть множество целых положительных чисел от 1 до 10) на две равные по численности группы (так как исходы опыта б1 должны быть равновероятны) и спросим, относится ли задуманное число к одной или другой из них (например, больше ли оно пяти). Далее нужно разбивать оставшееся множество чисел на две возможно близкие по численности части, и тогда мы определим задуманное число с помощью четырёх вопросов. Нужно сказать, что с помощью тех же четырёх вопросов мы угадаем не только одно из 10 задуманных чисел, но даже одно из 16, так как после того как уже выяснено, что число имеет одно из Х значений, где Х нечётно, невозможно добиться строгой равновероятности исходов последующего опыта, следовательно, энтропия этого опыта будет меньше 1. Это означает, что наш опыт не особенно выгоден с точки зрения полученной информации, то есть что с помощью того же числа вопросов можно найти загаданное число, имеющее не одно из 10, а одно из 24 = 16 возможных значений.
833. Теория колец
Другое Математика и статистика

- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица Е = diag(,,...,) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det(A) R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = - группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det(A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля.

Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p=
834. Теория математической статистики
Другое Математика и статистика
1. Вся структура графика предполагает его чтение слева на право, вертикальные шкалы снизу вверх;
2. На вертикальной шкале разместить нулевую отметку;
3. Если нулевая линия вертикальной шкалы не перпендикулярна по отношению к графику, то нулевая линия должна быть показана с помощью горизонтальной оси.
4. Пороговые точки на шкалах желательно выделить размером или цветом, но если речь идет о временном интервале, предпочтительно не указывать начальной и конечной точек. Подобрать такой масштаб, чтобы кривые линии резко отличались от прямых, желательно включить в график цифровые данные и изображение формулы, расположив их в правом верхнем углу, при необходимости использовать ясные полные заголовки и подзаголовки, как для самой диаграммы, так и для ее осей.
835. Теория Матриц и Определителей
Другое Математика и статистика

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах, Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число adbc, обозначаемое так:.Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях . Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение : a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.
836. Теория множеств
Другое Математика и статистика

Теория множеств или учение о множествах было создано в 1870 году немецким математиком Георгом Кантор <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF>ом. Он разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество. Крупные математики - в частности, Готлоб Фреге <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%82%D0%BB%D0%BE%D0%B1_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B5>, Рихард Дедекинд <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4,_%D0%AE%D0%BB%D0%B8%D1%83%D1%81_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%A0%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4> и Давид Гильберт <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82,_%D0%94%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B4> - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B>, топологии <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F> и функционального анализа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>. В начале XX века были выявлены крупные недостатки в теории Кантора, и на ее основе создана аксиоматическая (т.е. на основе аксиом, исходя из которых выводятся все дальнейшие теоремы) теория множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом.
837. Теория неявных функций и ее приложения
Другое Математика и статистика

Естественно, возникает вопрос, при каких условиях функциональное уравнение (1) однозначно разрешимо относительно u, т.е. однозначно определяет явную функцию u = ?( х, у, ...) и более тонкий вопрос, при каких условиях эта явная функция является непрерывной и дифференцируемой. Эти вопросы не являются простыми. Так функциональное уравнение (2), вообще говоря, определяет в круге x2 + y2 ? 1, кроме указанной выше явной функции u = -, бесконечно много других функций. Таковыми являются функция u = +, а также любая функция u, равная + для некоторых точек (х, у) из круга x2 + y2 ? 1 и равная -для остальных точек этого круга. Для выяснения вопроса об условиях, обеспечивающих однозначную разрешимость уравнения (2) относительно u, обратимся к геометрической иллюстрации. Уравнение (2) определяет в пространстве (u, х, у) сферу S радиуса 1 с центром в начале координат (рис.1). Возьмем на сфере S точку M0(u0, х0, у0), не лежащую в плоскости Оху, т.е. такую, для которой u0 ? 0. Очевидно, часть сферы S, лежащая в достаточно малой окрестности точки M0, однозначно проектируется на плоскость Оху. Аналитически это означает, что если рассматривать функцию F(u, х, у) = u2 + x2 + y2 1 только в указанной окрестности точки M0, то уравнение (2) однозначно разрешимо относительно u и определяет единственную явную функцию u = + при u0>0 и u = -при u0<0
838. Теория объясняющая природу возникновения гравитации
Другое Математика и статистика

Закон контуров дает представление о способах энергообмена в глобальном масштабе. Исходя из закона видно, что в природе существует четыре способа передачи энергии, которые в свою очередь делятся на два вида: по участию материи в качестве проводника энергии и по цикличности процесса энергообмена. Первый способ: с помощью материи в случае, когда энергия передается от материального объекта непосредственно к материальному, т.е. когда в качестве связующего звена в пространстве между двумя объектами энергообмена выступает какая-либо материя. Для примера простейший вариант: один, более горячий предмет прижат к другому, более холодному предмету, либо эти два предмета находятся на небольшом расстоянии друг от друга, тогда посредником в передаче тепловой энергии будет выступать воздух. Второй способ передачи энергии заключается в том, что энергия от одного тела к другому, расположенному на определенном расстоянии, передается без участия материи, выступающей в качестве посредника энергообмена. Примером такого энергообмена является гравитация, световой поток, электромагнитные колебания и др.Третий способ: когда процесс энергообмена цикличен т.е.передача энергии происходит порциями. Для примера представим руку которую человек вытягивает вперед, он затрачивает для этого энергию, но движение руки ограничено в пространстве и что бы передавать энергию руке постоянно необходимо возвращать ее в исходное положение. Четвертый способ: когда процесс энергообмена может происходить не прерывно и ограничен только энергетическим запасом системы. К примеру: передача энергии от колес автомобиля автомобилю, реактивный двигатель: двигатель-ракета, гравитационный двигатель: двигатель-средство передвижения.
839. Теория Рамсея
Другое Математика и статистика

Рис.2. Числа Рамсея определяются как наименьшее значение n, для которого в любой группе из n точек либо некоторая группа из j точек образует полную сеть красных рёбер, либо некоторая группа из k точек образует полную сеть синих рёбер. Рисунки показывают, как велико должно быть конкретное число Рамсея. На первой диаграмме изображены пять точек, соединённые красными и синими рёбрами таким способом, что никакие три точки не образуют ни красной, ни синей полной сети. Следовательно, из первой диаграммы можно вывести, что число Рамсея для трёх красных и трёх синих больше пяти. Аналогично можно утверждать, что из второй диаграммы следует, что число Рамсея для трёх красных и четырёх синих больше восьми. Другими более сложными методами можно показать, что число Рамсея для трёх красных и трёх синих равно шести, а число Рамсея для трёх красных и четырёх синих равно девяти. Все точно известные числа Рамсея приведены выше, кроме числа Рамсея для четырёх красных и четырёх синих, диаграмма для которого изображена на рис.1. (На некоторых диаграммах синие рёбра для простоты не показаны.) Относительно числа Рамсея для трёх красных и восьми синих было доказано, что оно больше 27 и меньше или равно 29. Недавно было показано (но пока не подтверждено), что оно равно 28.Числа Рамсея чрезвычайно трудно вычислять. Усилиями поколений математиков и компьютеров удалось найти лишь семь чисел Рамсея, которые приведены на рис.2. Чтобы наглядно продемонстрировать трудность вычисления чисел Рамсея, Эрдёш часто рассказывает следующий анекдот. Инопланетяне вторглись на Землю и угрожают уничтожить её через год, если человечество не сможет найти число Рамсея для пяти красных и пяти синих. Мы могли бы мобилизовать лучшие умы и самые быстродействующие компьютеры, и тогда в течение года мы, возможно, сумели бы найти искомое значение. Однако если бы инопланетяне потребовали от нас найти число Рамсея для шести красных и шести синих, то у нас не осталось бы иного выбора, как нанести упреждающий удар.
840. Теория случайных процессов
Другое Математика и статистика

024681012x18-3,329-5,2297,681-1,164-6,7136,751x203,637-3,027-1,1183,957-2,176-2,146x30-1,227-1,2351,5940,5650,777-2,609x45-1,998-2,7583,17-0,309-0,647-0,54x50-2,502-1,6060,276-0,086-0,7251,086x67-0,3241,008-1,245-6,4370,99-2,705x70000000x801,819-1,514-0,5591,979-1,088-1,073x93-1,248-1,9612,881-0,437-2,5172,532x100-0,161-0,3170,260,0260,372-0,394x1141,697-2,561-3,869-0,7223,2573,485x120-2,3770,44-0,943-3,79-0,888-0,91x132-0,832-1,3071,92-0,291-1,6781,688x1400,909-0,757-0,2790,989-0,544-0,537

Blog

Информация по предмету Математика и статистика