Теория множеств
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Содержание
Введение
.Понятие множества. Обозначения множества и его элементов. Конечные и бесконечные множества
.Подмножество
.Пустое и универсальное множества
.Способы задания множеств
.Операции над множествами
.Отношения на множествах
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Тема моего реферата - теория множеств. Мое знакомство с множествами началось еще в начальной школе на уроках математики. Тогда мы изучали множества птиц, учеников в классе, четных и нечетных чисел. Уже в средней школе были изучены свойства, действия над множествами, бесконечные множества, область определения функции как один из примеров множеств и т.д. Тема эта была мною исследована достаточно подробно, поэтому я бы хотела обобщить весь изученный материал в данной работе.
На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом совокупность. Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих в пруду, о совокупности чисел-делителей числа 30 и т.д. В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова совокупность употребить слово множество.
В математике постоянно приходится иметь дело с различными множествами: множество вершин или диагоналей какого-либо многоугольника, точек на прямой и т.д. Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в 70-х годах XIX века, оказывала и оказывает на всю математику в целом.
Теория множеств или учение о множествах было создано в 1870 году немецким математиком Георгом Кантор . В начале XX века были выявлены крупные недостатки в теории Кантора, и на ее основе создана аксиоматическая (т.е. на основе аксиом, исходя из которых выводятся все дальнейшие теоремы) теория множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества существуют исключительно формальным образом.
Теперь перейдем к детальному рассмотрению основных понятий и определений теории множеств.
1. Понятие множества. Обозначение множества и его элементов. Конечные и бесконечные множества
Математическое понятие множества постепенно выделилось из привычных представлений о совокупности, собрании, классе и т.д. Один из создателей теории множеств - Георг Кантор представлял множество как "совокупность или набор определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое". К сожалению, этому термину нельзя дать более строгого определения. Для того, чтобы определить какое-либо понятие, нужно прежде всего указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для множества сделать это невозможно, т.к. более общего понятия, чем множество, в математике нет.
С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.
Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества
Множества обычно обозначают большими латинскими буквами: A ,B , C , N , ..., а элементы этих множеств ? аналогичными маленькими буквами: a, b , c , n , ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,
N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.
Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.
Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a А если же данный элемент a не принадлежит множеству А, то пишут а ?А.
В различных приложениях дискретной математики чаще всего вс