Теория множеств
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
и B = {река Нил, город Москва, планета Уран}. Но этот способ применим только к конечным множеством, да и то далеко не ко всем
указание характеристического свойства его элементов
Характеристическое свойство - свойство, которым обладают все, принадлежащие данному множеству элементы, а не принадлежащие - не обладают. Чаще всего при этом используют запись A = { x|P( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )".
В геометрии часто приходится иметь дело с множествами точек, заданными теми или иными характеристическими свойствами. Такие множества точек называют геометрическими местами точек. Например, говорят так: Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от этой плоскости. Это означает, что множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости совпадает с множеством точек некоторой окружности.
Задание множеств их характеристическими свойствами иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т.е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Например, в арифметике свойство целое число делится на 2 задает то же множество, что и свойство последняя цифра числа делится на 2.
с помощью порождающей процедуры например:
E = { x| x = 3k, k - любое натуральное число.}
Наряду с порождающей процедурой существует распознающая или разрешающая процедура, которая позволяет определить, принадлежит данный объект множеству или нет. Для множества E распознающая процедура заключается в разложении числа на простые множители.
. Операции над множествами
Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или в множество В.
Объединение множеств А и В обозначают AB:
AB=.
*Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами, называемыми диаграммами Эйлера - Венна, на которых множества изображаются овалами, в частности кругами:
Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.
Пересечение множеств А и В обозначают AB:
AB={x |x}.
Разностью множеств A и B называется множество всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B.
Разность множеств A и B обозначают A\B:
A\B = {x |x A и x ? B}.
Симметрической разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов исходных множеств, за исключением общих элементов.
Симметрическую разность множеств A и B обозначают AB:
B= (A\B ) ( B\A ).
Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество `
A = U\A,
где U - универсальное множество.
Свойства операций
Для любых множеств A,B,C выполняются следующие тождества:
1.A B = B A, A B = B A
(коммутативность объединения и пересечения);
2.A( B C ) = ( A B ) C, A ( B C ) = ( A B ) C
(ассоциативность объединения и пересечения);
3.A ( B C ) = ( A B ) ( AC ),
A ( B C ) = ( A B ) ( AC )
(дистрибутивность);
.A A = A, A A = A
(идемпотентность);
5. A U = U, A U = A, A = A, A = ,
5.A `A = U, A `A=
(свойства универсального и пустого множеств);
.`A = A
(закон двойного дополнения);
7.____ ____
A B = `A `B, A B = `A`B
(законы де Моргана).
. Отношения на множествах
Прежде чем приступить к раскрытию темы отношений на множествах, введем понятие прямого произведения множеств.
Упорядоченной парой называют пару элементов (x,y) такую, что равенство двух пар (x,y)=(a,b) возможно тогда и только тогда, когда x = a и y = b.
Прямым (декартовым) произведением 2-х множеств A и B называется множество
AB= {(x, y) |x A, y B}
Например, если A= {a,b,c,d,e,f,g,h}, B= {1,2,3,4,5,6,7,8}, то AB= {(a,1),(a,2),тАж(h,7),(h,8)}- множество, содержащее обозначения всех 64-х клеток шахматной доски.
Свойства прямого произведения:
1)По определению полагают, что
A=
AB C)= (A)(AC)
AB C)= (AB)(AC)
*Прямое произведение множеств не является коммутативным, т.е AB ?BA.
Наконец, отметим, что число элементов прямого произведения = .
Отношения служат одним из способов задания взаимосвязи между элементами множеств. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения. Для обозначения отношений будем использовать малые буквы греческого алфавита ?, ?, ? и т.д.
Унарное (одноместное) отношение соответствует наличию какого-то определенного признака (свойства) у элементов множества Х (например, признак быть отрицательным на множестве Z целых чисел). Все элементы, обладающие выделенным признаком, образуют некоторое подмножество ? Х. Это подмножество ? и называют унарным отношением на множестве Х.
Бинарны