Теория множеств
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
е (двуместные) отношения используют как характеристику некоторой взаимосвязи между элементами множества X. Элементами бинарного отношения являются упорядоченные пары прямого произведения XX, и, следовательно, само бинарное отношение может быть задано как некоторое подмножество прямого произведения ? ?XX.
Так, например, на множестве M всех студентов университета можно ввести следующее отношение принадлежности к одному факультету: ? ?M M и упорядоченная пара (a,b)тогда и только тогда, когда студенты a и b обучаются на одном факультете.
В общем случае можно рассматривать n-местное отношение как любое фиксированное подмножество ? прямого произведения ? ??Xn. При этом говорят, что элементы x1, x2,тАж xn множества X находятся в отношении ?, если упорядоченный набор (x1, x2,тАж xn ) ?.
Тождественным (единичным) отношением на множестве X называется отношение ex (иногда просто символ e), которое содержит только пары вида (x,x) для любого элемента xX.
Полным (универсальным) отношением на множестве является отношение U=XX.
Пусть на множестве задано отношение ? ?XX, тогда обратным к данному отношению называют отношение ?-1 такое, что пара (x,y) принадлежит ?-1 тогда и только тогда, когда пара (y,x) принадлежит ?.
Поскольку каждое отношение на X является подмножеством полного отношения, для отношений определены все операции над множествами. Так, например, мы можем рассматривать объединение, пересечение, разность двух отношений ?, ? XX. Определено и дополнение `? = U\ ? отношения ? до полного отношения.
Теперь приведем пример описания практической задачи с использованием элементов теории множеств.
Пример 1. Пусть на предприятии существует 2 вида затрат на производство: постоянные и переменные. К постоянным затратам относятся:
)затраты на аренду помещения (r)
)затраты на электроэнергию (e)
)затраты на оплату повременного труда (h)
К переменным затратам относятся:
)затраты на оплату сдельного труда (s)
)затраты на сырье и материалы (m)
Обозначим множество постоянных затрат A, а переменных - B. Таким образом, A={r, e, h}
B ={s, m}.Множества r, e, h являются подмножествами множества A, а множества s, m - подмножествами множества B. Множество общих затрат P в таком случае можно представить как объединение множеств A и B: P = A
P
Заключение
В процессе работы мы узнали о самых основных положениях теории множеств таких как определение множества, конечные и бесконечные множества, обозначения множеств, способы их задания, подмножество. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия. В настоящее время теория множеств является одной из основ таких областей математики как функциональный анализ, топология, общая алгебра и т.д. Ведутся глубокие исследования и в самой теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики.
Элементами теории множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике). Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника-теории множеств.
Список используемой литературы
Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1969.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974.
Математическая энциклопедия (в 5 томах) /Под ред. И.М. Виноградова. - М.: Сов. энциклопедия, 1977.
Яглом И.М. Булева структура и ее модели. - М.: Советское радио, 1980.