Теория множеств
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
тречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q , множество действительных чисел R.
. Подмножество
Если любой элемент множества A является элементом другого множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B , и пишут: A B. Например, множество всех натуральных чисел N является подмножеством всех действительных чисел R: N R. Из определения непосредственно следует, что A A , то есть всякое множество является подмножеством самого себя.
Если A B , а B A , то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.
Во многих случаях, чтобы выделить в данном множестве некоторое подмножество, добавляют к его характеристическому признаку (см. гл. 4) то или иное дополнительное условие. Например, подмножество натуральных чисел выделяется в множестве целых чисел добавлением условия n>0, а подмножество равносторонних треугольников в множестве всех треугольников - добавлением условия a=b=c (где a,b,c - длины сторон треугольника).
В математике часто встречаются теоремы, в которых речь идет о том, что одно множество является частью другого. К примеру, в теореме Диагонали четырехугольника с равными сторонами взаимно перпендикулярны речь идет о двух множествах: А - множество всех ромбов, В - множество всех четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями. И теорема состоит в том, что А В.
множество математика бесконечный
3. Пустое и универсальное множества
В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом . Если A есть пустое множество, то пишут: A = . Зачем же его вообще вводят? Стоит отметить, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех четырехугольников таких, что)все их углы прямые,)диагонали имеют различную длину.
Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пустыми являются также множества треугольников, сумма углов которых отлична от 180, множество квадратных трехчленов, имеющих больше двух корней и т.д.
В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Его принято называть универсальным. Оно обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E. Например, при сборке некоторого изделия универсальным множеством естественно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит. Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.
Свойства универсального множества:
-Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества
-В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов
-Любое множество является подмножеством универсального множества
-В частности, само универсальное множество является своим подмножеством
-Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству
-В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству
-Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству
-В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству
-Исключение
-В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству
-Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
-Дополнение универсального множества есть пустое множество.
4. Способы задания множеств
Возможны различные способы задания множеств:
перечисление всех его элементов или список
В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = {1, 2, a, x} ил