Информация по предмету Математика и статистика

601. Правильные и полуправильные многогранники
Другое Математика и статистика

Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок длиной x (пока что это любая длина) так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого треугольники, и при каждой вершине их пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этого многогранника равны, т. е. он правильный. Т.к. куб симметричен, то все ребра, не принадлежащие граням куба равны между собой. Примем длину ребра куба за a. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2), где AC=ax, BC2=CD2+BD2 = 1/4a2+1/4x2. По теореме Пифагора получаем: AB2=AC2+CB2=(x2+a2+(ax)2)/4.
602. Правильные многогранники
Другое Математика и статистика

Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О, удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а r ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Гчисло граней правильного многогранника): основаниями образованных пирамид равны r. Тогда объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:
603. Правильные многогранники или тела Платона
Другое Математика и статистика

Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.
604. Практика перевода числа из одной системы счисления в другую + блок-схема алгоритма определения наиме...
Другое Математика и статистика

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в любую другую, необходимо это число делить на число основание той системы, в которую переводится число. Соответственно, эти числа 2, 8, 10 и 16. Остатки необходимо фиксировать и нумеровать. Число, полученное в результате деления делим ещё раз, и так до тех пор, пока вновь полученное число уже само не станет остатком, т. е. будет меньше основания оно замыкает цепочку остатков. Затем остатки, начиная с последнего, переписываем в число, которое является переведённым в другую систему счисления.
605. Практикум по предмету Математические методы и модели
Другое Математика и статистика

ABCDEFGHIJKLMNOPQRS1P1P2P3P4P5P6R211000000T1T2T3T4T5T6T7T8T9329,33E-16,61E-027,86E-044,49E-042,49E-053,58E-051,87E-0643340,40,5326242,63,5439,13E-18,39E-021,04E-031,12E-031,23E-047,14E-059,83E-061213212334455226626772549,07E-18,87E-021,11E-031,79E-032,85E-041,00E-042,17E-050,250,0022,50,00220,330,50,0020,390,390,29659,04E-18,99E-021,14E-032,41E-034,94E-041,22E-043,60E-05769,03E-19,02E-021,14E-032,96E-037,34E-041,39E-045,14E-05879,02E-19,03E-021,15E-033,44E-039,92E-041,52E-046,71E-05989,01E-19,02E-021,14E-033,86E-031,26E-031,61E-048,26E-051099,00E-19,02E-021,14E-034,23E-031,52E-031,68E-049,76E-0511108,99E-19,02E-021,14E-034,56E-031,78E-031,73E-041,12E-0412118,98E-19,01E-021,14E-034,84E-032,02E-031,77E-041,25E-04………………………34338,92E-19,00E-021,13E-036,70E-034,34E-031,87E-042,41E-0435348,92E-19,00E-021,13E-036,71E-034,37E-031,87E-042,42E-0436358,92E-19,00E-021,13E-036,72E-034,39E-031,87E-042,43E-0437368,92E-19,00E-021,13E-036,73E-034,40E-031,87E-042,44E-0438378,92E-19,00E-021,13E-036,74E-034,42E-031,87E-042,45E-0439388,92E-19,00E-021,13E-036,75E-034,43E-031,87E-042,46E-0440398,92E-19,00E-021,13E-036,76E-034,45E-031,87E-042,47E-0441408,91E-19,00E-021,13E-036,76E-034,46E-031,87E-042,47E-0442418,91E-19,00E-021,13E-036,77E-034,47E-031,87E-042,48E-0443428,91E-19,00E-021,13E-036,77E-034,47E-031,87E-042,48E-0444438,91E-19,00E-021,13E-036,77E-034,48E-031,87E-042,49E-0445448,91E-19,00E-021,13E-036,78E-034,49E-031,87E-042,49E-0446458,91E-19,00E-021,13E-036,78E-034,49E-031,87E-042,49E-0447468,91E-019,00E-021,13E-036,78E-034,50E-031,87E-042,50E-0448478,91E-019,00E-021,13E-036,78E-034,50E-031,87E-042,50E-0449488,91E-019,00E-021,13E-036,79E-034,51E-031,87E-042,50E-0450498,91E-019,00E-021,13E-036,79E-034,51E-031,87E-042,50E-0451508,91E-019,00E-021,13E-036,79E-034,51E-031,87E-042,51E-0452518,91E-019,00E-021,13E-036,79E-034,51E-031,87E-042,51E-0453528,91E-019,00E-021,13E-036,79E-034,52E-031,87E-042,51E-04
606. Практическое применение производной
Другое Математика и статистика

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
607. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Другое Математика и статистика

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
608. Пределы и производные
Другое Математика и статистика

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная ? это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f(x)f/x, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше x. Производная f(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между f и x.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке.
609. Пределы последовательностей и функций
Другое Математика и статистика

Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай . Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции в точке , если для любого числа можно найти число такое, что для всех точек из -окрестности точки М выполняется неравенство . Для обозначения предела функции в точке используется символика
610. Предельные теоремы. Характеристические функции
Другое Математика и статистика

Используя аппарат характеристических функций можно показать, что случайные величины Z = X + Y (Z носит название композиции), где X, Y независимые случайные величины имеющие биноминальное распределение или распределение Пуассона, или нормальное распределение также подчиняются соответственно биноминальному распределению, закону Пуассона, нормальному закону.
611. Предмет вивчення теорії ймовірностей
Другое Математика и статистика

У біології і медицині мінливість виражена набагато сильніше і має більше наукове значення. При повторних вимірах ваги того самого людини, проведених в одне і теж час, можна легко знайти невеликі коливання результатів, однак вони не представляють особливого інтересу. Якщо ж повторні виміри проводити через короткі проміжки часу, то можна знайти коливання внаслідок чи додатка утрати ваги за рахунок прийому їжі, подиху, виділень і т.д. Усі ці аспекти, безумовно, мають важливе значення з біологічної точки зору, однак у порівнянні з більш значними змінами, що відбуваються, скажемо, за чи тиждень за місяць і зв'язаними з загальним процесом росту, такі короткочасні зміни можуть вважатися несуттєвими. Пішовши далі і порівнявши значення відповідних чисельних показників у різних індивідуумів, ми негайно знайдемо мінливість усередині популяції. Відомо, що окремі представники будь-якого даного виду можуть значно відрізнятися друг від друга по чи вазі розмірам тіла, і звичайно ідея опису популяції середніми показниками не зустрічає серйозних заперечень. Вага і ріст - настільки знайомі для більшості з нас показники, що усереднені криві чи рости таблиці середньої ваги для людей визначеного віку, пола і рости приймають за стандарти, що дозволяють судити про ступінь відхилення від норми в кожнім конкретному випадку.
612. Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...
Другое Математика и статистика

ВВЕДЕНИЕ Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние знали не все.
Пьер Ферма Лишь один математик удостоился того, что имя его стало нарицательным. Если произносится слово "ферматист", значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей. Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма (1601--1665), одному из самых светлых умов Франции. Ферма - человек удивительной судьбы: один из величайших математиков всех времен, он не был, в современной терминологии, "профессиональным" математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногда случается с людьми), и именно эта наука дала ему все, что может дать человеку любовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было еще математических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын обработал архив отца и издал его."Я доказал много исключительно красивых теорем", - сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. В бумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательных утверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. И постепенно, год за годом, таких недоказанных утверждений становилось все меньше и меньше. И наконец, осталось только одно. Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=52. Можно описать все целочисленные решения уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом, греческим математиком, жившим (вероятно) в III веке нашей эры, во второй книге его трактата "Арифметика" (до нас дошли 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта Ферма написал: "Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Иначе говоря, уравнение xn+yn=zn при натуральном n>2 в целых числах неразрешимо.
613. Преобразования плоскости, движение
Другое Математика и статистика

Îòîáðàæåíåì ïëîñîñòè íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðîçîâàíèå, ÷òî êàæäîé òî÷êå èñõîäíîé ïëîñêîñòè ñîïîñòàâëÿåòñÿ êàêàÿ-òî òî÷êà ýòîé æå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ëþáàÿ ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíîé äðóãîé òî÷êå. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ôèãóðà F ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ â ôèãóðó F', òî ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà F' - îáðàç ôèãóðû F, à ôèãóðà F - ïðîîáðàç ôèãóðû F'. Åñëè îäíèì îòîáðàæåíèåì ôèãóðà F ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F', à çàòåì ôèãóðà F' ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F'', òî îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå F â F'' íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ îòîáðàæåíèé. Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A êîòîðàÿ ýòèì îòîáðàæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ ñàìà â ñåáÿ. Îòîáðàæåíèå, âñå òî÷êè êîòîðîãî íåïîäâèæíûå íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Åñëè ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè ðàçíûì òî÷êàì ôèãóðû ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå îáðàçû, òî òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïóñòü ôèãóðà F' ïîëó÷åíà èç ôèãóðû F âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì f, òî ìîæíî çàäàòü îòîáðàæåíèå îáðàòíîå îòîáðàæåíèþ f, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèÿ f è îòîáðàæåíèÿ, îáðàòíîãî f ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âèäîâ îòîáðàæåíèÿ ïëîñêîñòè íà ñåáÿ, ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ:
614. Преобразования фигур
Другое Математика и статистика

Доказательство. Действительно, пусть O центр гомотетии и - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости . Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A на луче OA, а точку B в точку B на луче OB, причем OA/OA = k, OB/OB = k, где k коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и AOB. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OAB, а значит, параллельность прямых AB и AB. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости . Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую AC. При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость , проходящую через прямые AB, AC. Так как AB||AB и AC||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости и параллельны, что и требовалось доказать.
615. Приближенное вычисление квадратных корней
Другое Математика и статистика

Тема приближенного вычисления корней актуальна всегда, так как задания с квадратными корнями есть в каждом курсе предметов естественнонаучного цикла. В ходе решения многих математических задач, а так же задач по геометрии, по физике, по химии и т.д. приходится сталкиваться с квадратными корнями. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, но ее бывает недостаточно. Извлечение корня разложением на множители тоже непростая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату, и я решила изучить различные способы извлечения квадратных корней с целью их практического применения.
616. Приближенное вычисление корней в уравнения
Другое Математика и статистика

Итак, пусть корень Е уравнения (1) "зажат" между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а< E<b . При этом будем предполагать, что f(х), f`(х) ,f``(х) непрерывны на отрезке [ а, b ], причём f`(х) и f``(х) сохраняют знак. Сохранение знака у f`(х) говорит о монотонности f(х) (и, следовательно, f(a) u f(b) имеют разные знаки). Сохранение же знака у f``(х) означает, что выпуклость кривой y=f(х) для всех х отрезка [ а, b ] обращена в одну сторону. На рисунке №2 изображены 4 случая, отвечающих возложенным комбинациям знаков у f`(х) и f``(х) .
617. Приближенное вычисление определенных интегралов
Другое Математика и статистика

Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
618. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции
Другое Математика и статистика

Íåõàé òðåáà îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëó , äå º äåÿêà çàäàíàÿ íà ïðîì³æêó íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ. ²ñíóº áàãàòî ïðèêëàä³â îá÷èñëåííÿ ïîä³áíèõ ³íòåãðàë³â, àáî çà äîïîìîãîþ ïåðâ³ñòíî¿, ÿêùî âîíà âèðàæàºòüñÿ â ñê³í÷åííîìó âèãëÿä³, àáî æ ìèíóÿ ïåðâ³ñòíó çà äîïîìîãîþ ð³çíèõ ïðèéîì³â, ÿê ïðàâèëî, øòó÷íèõ. Ïîòð³áíî â³äì³òèòè, îäíàê, ùî âñ³ì öèì âè÷åðïóºòüñÿ âóçüêèé êëàñ èíòåãðàë³â; çà éîãî ìåæàìè çàçâè÷àé âäàþòüñÿ äî ð³çíèõ ìåòîä³â íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ.
619. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Другое Математика и статистика
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции (x1) и (x2) разных знаков. Так как функция (x)непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2.
2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y=(x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;(x1)) и B(x2; (x2)), в каноническом виде:
620. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
Другое Математика и статистика

Возьмём среднюю точку отрезка [a, b], h=(a+b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h) 0, тогда из отрезков [a, h] и [h, b] выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его [a1, b1]. По построению: f(a1)<0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка [a1, b1] точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка [a2, b2] где бы по построению f(a2)<0, f(b2)>0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге n в силу того, что f(hn)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай.

Blog

Информация по предмету Математика и статистика