А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций
Вид материала | Курс лекций |
СодержаниеСвойства функции распределения Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание Свойства математического ожидания Свойства математического ожидания |
- Рабочая программа дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика", 112.61kb.
- Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", 1417.24kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая, 217.23kb.
- Примерная программа наименование дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика», 165.37kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины теория вероятностей и математическая статистика, 830.1kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», 165.42kb.
- Программа курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика", 18.69kb.
- Примерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика, 83.07kb.
- Программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, 206.05kb.
- Программа дисциплины «теория вероятностей и математическая статистика» Для направления, 198.58kb.
Свойства функции распределения
- Функция распределения принимает значения из промежутка
:
.
- Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала
, равна разности
:
.
- Функция распределения – неубывающая функция, т.е.
при
.
-
.
- Если
, то
.
- Если
, то
.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.
Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:
![](images/390431-nomer-725d7c6e.gif)
где
![](images/390431-nomer-m4ade5828.gif)
Очевидно, математическое ожидание случайной величины
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
Математическое ожидание
![](images/390431-nomer-70e383b7.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем. Доказательства этих теорем будут приведены для дискретных случайных величин, однако, соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин.
Прежде, чем формулировать свойства математического ожидания необходимо выяснить смысл и дать определение арифметических операций
![](images/390431-nomer-m1cfa02e.gif)
![](images/390431-nomer-m32acdd6f.gif)
![](images/390431-nomer-m32b7bf18.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
Например, под суммой
![](images/390431-nomer-m1cfa02e.gif)
![](images/390431-nomer-671a6446.gif)
![](images/390431-nomer-m43a38ecb.gif)
![](images/390431-nomer-350bcd0c.gif)
![](images/390431-nomer-7cef07d1.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-23914a4c.gif)
Если какая-нибудь комбинация
![](images/390431-nomer-7a51ab24.gif)
![](images/390431-nomer-70f39cd6.gif)
Свойства математического ожидания
1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины
![](images/390431-nomer-me921a8d.gif)
Доказательство. Постоянную величину
![](images/390431-nomer-me921a8d.gif)
![](images/390431-nomer-me921a8d.gif)
![](images/390431-nomer-617b3d51.gif)
![](images/390431-nomer-m510a995c.gif)
2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-m28f6bf8c.gif)
Доказательство:
1) Пусть случайная величина
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-350bcd0c.gif)
![](images/390431-nomer-6e16f13d.gif)
![](images/390431-nomer-618da919.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-7cef07d1.gif)
![](images/390431-nomer-1ccfc6d9.gif)
![](images/390431-nomer-m6c806b05.gif)
![](images/390431-nomer-m1cfa02e.gif)
![](images/390431-nomer-m2b000fe0.gif)
![](images/390431-nomer-m26fb2313.gif)
![](images/390431-nomer-m92757d6.gif)
Как уже отмечалось ранее, все комбинации (
![](images/390431-nomer-602577b9.gif)
![](images/390431-nomer-618da919.gif)
![](images/390431-nomer-m6c806b05.gif)
![](images/390431-nomer-m2b000fe0.gif)
![](images/390431-nomer-491ea183.gif)
![](images/390431-nomer-31014a4e.gif)
![](images/390431-nomer-20ab5626.gif)
Сумма
![](images/390431-nomer-m2d324684.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-350bcd0c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-350bcd0c.gif)
![](images/390431-nomer-7c09ff08.gif)
Аналогично
![](images/390431-nomer-m60850392.gif)
Тогда
![](images/390431-nomer-m34d4efdb.gif)
2) Для нескольких случайных величин, например для трех
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-671a6446.gif)
![](images/390431-nomer-m6a105c5c.gif)
![](images/390431-nomer-m115f06f0.gif)
Следствие. Если
![](images/390431-nomer-me921a8d.gif)
![](images/390431-nomer-213dfba7.gif)
3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-m2993ce15.gif)
Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения (
![](images/390431-nomer-350bcd0c.gif)
![](images/390431-nomer-6e16f13d.gif)
![](images/390431-nomer-618da919.gif)
![](images/390431-nomer-7cef07d1.gif)
![](images/390431-nomer-3d9b1534.gif)
![](images/390431-nomer-m6c806b05.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-5c429a93.gif)
![](images/390431-nomer-27f929eb.gif)
![](images/390431-nomer-618da919.gif)
![](images/390431-nomer-m6c806b05.gif)
![](images/390431-nomer-57bdd633.gif)
![](images/390431-nomer-7620687d.gif)
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-671a6446.gif)
![](images/390431-nomer-m336eaab0.gif)
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
![](images/390431-nomer-m1f256062.gif)
Если
![](images/390431-nomer-me921a8d.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-me921a8d.gif)
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-1641d88e.gif)
Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин
![](images/390431-nomer-45ba310c.gif)
![](images/390431-nomer-m7c1decad.gif)
![](images/390431-nomer-m28f6bf8c.gif)
Доказательство.
![](images/390431-nomer-40bf0a1c.gif)
![](images/390431-nomer-11cb2c25.gif)