Geum.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации Ростовский Государственный Университет

Вид материалаДокументы

Содержание


КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЦЕПОЧЕК ФЕРМИ-ПАСТЫ-УЛАМА КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ Жуков К.Г., Ч
Подобный материал:
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   75


КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЦЕПОЧЕК
ФЕРМИ-ПАСТЫ-УЛАМА КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

Жуков К.Г., Чечин Г.М.

Ростовский госдарственный университет, физический факультет


chechin@phys.rsu.ru

Следует различать общие информационные технологии, которые применимы при решении широкого круга проблем (примером могут служить технологии обработки символьной информации, используемые в пакетах MAPLE, Mathematica), и частные технологии, используемые для решения относительно ограниченного круга задач.

Настоящий доклад посвящен одной из таких технологий для проведения научных исследований и для обучения студентов в области нелинейной динамики систем с дискретной симметрией.

Это новое научное направление развивается с конца прошлого века в Ростовском государственном университете. В его рамках была создана теория бушей мод, которые представляют собой некоторые точные динамические режимы нового типа в системах с дискретной симметрией [1-3].

По причинам простоты и наглядности особенно удобными для изучения бушей мод являются нелинейные моноатомные цепочки Ферми-Пасты-Улама [4-7]. С самого своего появления в середине прошлого века эта модель стала популярным объектом исследования, поскольку, в силу своей простоты, она предоставляет широкий простор для эвристического поиска. Неотъемлемой частью этого поиска всегда оставался вычислительный эксперимент. В результате, на цепочках Ферми-Пасты-Улама были открыты многие широко известные динамические режимы, например, такие, как солитоны и дискретные бризеры.

В рамках исследования бушей мод моделирование динамики цепочек Ферми-Пасты-Улама позволило установить ряд принципиально важных результатов. Достаточно упомянуть, например, открытый в работах [5-7] факт нетривиальной зависимости устойчивости бушей от полного набора начальных условий.

Все те же простота и наглядность цепочек Ферми-Пасты-Улама позволяют рассматривать их как удобную модель при обучении студентов элементам нелинейной динамики систем с дискретной симметрией. Удобство заключается в том, что эта модель, будучи весьма “прозрачной” (ее часто ассоциируют с цепочкой грузиков на пружинках), позволяет сконцентрировать усилия преподавателя и студентов на сути рассматриваемых физических явлений, которые оказываются при этом не завуалированными сложностью более реалистических моделей.

При моделировании динамики цепочек Ферми-Пасты-Улама использование готовых математических пакетов, например, из числа вышеупомянутых, часто оказывается малоэффективным. Это может быть связано с недостаточной скоростью вычислений или надежностью работы этих пакетов, а также с невозможностью при необходимости вклиниться в алгоритм численного решения. Поэтому возникает задача создания собственных средств для моделирования динамики цепочек Ферми-Пасты-Улама.

Нами создано Windows-приложение, написанное на языке C#, и позволяющее моделировать динамику моноатомной цепочки (FPU-α или FPU-β типов). В представленном варианте программа позволяет “в реальном времени” увидеть колебания рассматриваемой цепочки. При этом по желанию пользователя возможен вывод в виде анимации, как мгновенных атомных смещений, так и их разложения по нормальным модам.

С точки зрения внутреннего устройства программа состоит из трех основных блоков. В первом блоке реализовано решение уравнений движения цепочки в конфигурационном пространстве методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Второй блок предназначен для проведения быстрого перехода в модальное пространство для построения каждого из кадров анимации. Метод этого перехода является вещественным аналогом быстрого преобразования Фурье. Третий блок программы реализует графический интерфейс, состоящий из элементов управления и области вывода анимации.

Важным аспектом выделения первых двух блоков является то, что они в определенном смысле самодостаточны и могут быть перенесены в другие программы. Более того, они могут быть предоставлены и для использования другими студентами, которым это позволит сэкономить время на написание и отладку собственных программ и, тем самым, в большей степени сконцентрироваться на творческом поиске. С точки зрения программирования язык C# представляется здесь весьма удобным средством, поскольку позволяет осуществлять обмен частями программ самыми разными способами, начиная от передачи написанных классов и заканчивая предоставлением web-интерфейсов.

Литература
  1. Сахненко В.П., Чечин Г.М. Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных систем, ДАН. 1993. Т.330, N3, 308-310.
  2. Сахненко В.П., Чечин Г.М. Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией, ДАН. 1994. Т.338, N1, 42-45.
  3. G.M.Chechin and V.P.Sakhnenko, “Interactions between Normal Modes in Nonlinear Dynamical Systems with Discrete Symmetry. Exact Results”, Physica D 117, 43-76 (1998).
  4. G.M.Chechin, N.V.Novikova and A.A.Abramenko, “Bushes of Vibrational Modes for Fermi-Pasta-Ulam Chains”, Physica D166, 208(2002).
  5. Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М. Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек, Электронный журнал "Исследовано в России", 137(2003), 1616-1644, pe.relarn.ru/articles/2003/137.pdf
  6. Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М. Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама, Электронный журнал "Исследовано в России", 161(2003), 1945-1964, pe.relarn.ru/articles/2003/161.pdf
  7. G.M. Chechin, D.S. Ryabov, K.G. Zhukov, Stability of low-dimensional bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains, arXiv:nlin.PS/0403040 v1 19 Mar 2004; Physica D, 2005, in press.