Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материала

Рабочая учебная программа

Содержание §2. Основные свойства вероятности и простейшие теоремы

Подобный материал:

• Рабочая программа, методические указания по выполнению курсовой работы и контрольные, 1000.11kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине, 858.36kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «эконометрика» для студентов, 555.04kb.
• Рабочая программа методические указания контрольные задания для студентов специальности, 833.92kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «трудовое право» для студентов, 805.51kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная культура» для, 729.22kb.
• Рабочая программа По дисциплине «Стратегическое управление организацией» Для курса, 197.74kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная история» для студентов, 583.38kb.
• Программа, контрольные задания и тематика курсовых работ по учебной дисциплине основы, 557.3kb.
• Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплине концепции современного, 717.75kb.

§2. Основные свойства вероятности и простейшие теоремы

Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий)

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий.



Теорема 2. (умножения вероятностей независимых событий)

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.



Теорема 3 (умножения вероятностей зависимых событий)

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.



Замечание 1. Следует обратить внимание на то, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3, так как для независимых событий – вероятность события В при условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна безусловной вероятности .

Теорема 4 (сложения вероятностей совместных событий)

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления



Замечание 2. Теоремы верны не только для двух событий, но и для большого числа событий.

Пример 2. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 , можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Решение. Введем обозначения событий:

Событие - ни при одном выстреле не будет промаха.

Событие - при первом выстреле не будет промаха.

Событие - при втором выстреле не будет промаха.

Событие - при i-м выстреле не будет промаха (i=1,2,3…n)

Интересующее нас событие состоит в совмещении событий ,…



, при i= 1,2,3…n

События независимы в совокупности, поэтому применим теорему умножения независимых событий.



По условию задачи : ,следовательно:

Т.к. , и получим, что _.

Пусть события ,… независимы в совокупности и пусть их вероятности равны соответственно , ….

Теорема 5. Вероятность наступления события , состоящего в появлении хотя бы одного из ,…, независимых в совокупности, равна разнице между единицей и произведением вероятностей противоположных событий



Если все события имеют одинаковую вероятность P, то вероятность появления хотя бы одного из них

()

Пример 3. В электронную цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа элементов , , . Найти вероятность того, что тока в цепях не будет.

Решение.

Так как элементы включены последовательно, тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент.

Искомая вероятность



Теорема 6. (формула полной вероятности)

Вероятность события А, которое может наступать лишь при появлении одного из событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А :

,

где + +…+ =1

Теорема 7. (формула Байеса)

Пусть событие может наступать лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , ,.., , которые образуют полную группу событий . Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

(i=1,2,…n)

Пример 4. Число грузовых автомашин проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2 .Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовик.

Решение.

Пусть - событие, заключающееся в том, что машина подъехала на заправку. Выдвинем две гипотезы: -машина легковая. -машина грузовая. Подсчитаем вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

Согласно формуле полной вероятности, вероятность события A определим как:



По условию задачи условные вероятности равны соответственно:

.

Вероятности гипотез определим как тогда:

.

Событие произошло. Машина подъехала заправиться. Вероятность того, что это грузовая машина определим по формуле Байеса:



Теорема 8. (Формула Бернулли).

Пусть проводится серия из n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна Р (а вероятность его не наступления: q=1-p).

Тогда вероятность того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:

.

Пример 5. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика (вероятность рождения мальчика равна 0.51).

Решение: Обозначим через событие, состоящее в рождении мальчика. Можно сказать, что производятся испытания, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний и зависит от других испытаний и равна Р=0.51. Вероятность того что в пяти независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события А равна Р=0.51(q=0.49) событие наступит ровно 2 раза равна:

.