Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
? упорядоченной парой реперов , где , . Если - координаты точки в репере , то эти же координаты имеет точка в репере . Но , . Теорема доказана.
Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.
Теорема 2. Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то - проективное отображение.
Доказательство. Пусть - различные точки прямой и их образы в отображении . Существует единственной проективное отображение , которое переводит точки в точки соответственно.
Если , и , то по доказанному
.(3)
Если , то по условию
(4)
(3), (4)
и, значит, точки и совпадают. Так как , то такой вывод справедлив для любой точки . Следовательно, данное нам отображение совпадает с проективным отображением . Теорема доказана.
Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.
Теорема 3. Пусть - четыре различные прямые пучка П(О), прямая не проходит через точку и - точки пересечения этой прямой с прямыми . Тогда сложное отношение не зависит от выбора прямой (оно называется сложным отношением четырех названных прямых).
Рис. 2
Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми в точках соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение по закону: . Так как это частный случай проективного отображения, то . Теорема доказана.
Следствие. Биекция :П()П() одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.
4. Сложное отношение точек заданных своими координатами на проективной плоскости
Как найти сложное отношение четырех точек прямой , зная их координаты , , , относительно репера на плоскости?
Прямая не проходит по крайней мере через одну из точек . Для определенности будем считать, что (рис. 3).
Рис.3
Рассмотрим перспективное отображение с помощью пучка прямых П(). Имеем:
. (5)
В репере на прямой имеем координаты точек:
.
Поэтому
и, учитывая равенство (5),
. (6)
Аналогичные выражения получим, если прямая не проходит через вершину или координатного треугольника, проектируя точки прямой на из или на и из .
На проективной плоскости возьмем репер и произвольную точку . Пусть - проекции точек и на прямую из центра . Мы знаем, что в репере на прямой точка имеет координаты и, следовательно, по формуле (2) при условии, что , то есть . Аналогичные выражения получим и для других отношений между координатами точки . Поэтому справедлива
Теорема 4. Если точка имеет координаты относительно репера проективной плоскости, то отношение равно сложному отношению четырех точек: двух вершин , и проекций , на прямую точек и из третьей вершины координатного треугольника (при условии, что , т. е. ) [3].
.Итог занятия.
Итак, сегодня мы познакомились с понятием сложного отношения четырех точек прямой, изучили свойства сложного отношения, рассмотрели сложное отношение четырех прямых пучка.
Как обозначается сложное отношение четырех точек прямой?
Возможный вариант ответа: (AB,CD).
Какие свойства сложного отношения точек сегодня были изучены?
Каким отношением связанно сложное отношение четырех точек прямой и отношение трех точек прямой?
При обозначении сложного отношения точек важен порядок записи точек?
Лекция № 2
Тема: Полный четырехвершинник
Цель: обучающая: ввести определение гармонической четверки точек, изучить теорему о свойствах полного четырехвершинника;
развивающая: развивать память, логическое мышление, умение анализировать, выделять закономерности, обобщать, способность быстро ориентироваться в ситуации;
воспитательная: воспитывать положительное отношение к процессу обучения, уважение к сверстникам и преподавателю.
Тип занятия: лекция.
Структура занятия:
.Организационный момент (2 мин).
.Изложение нового материала (85 мин).
.Итог занятия (3 мин).
Ход занятия
.Организационный момент.
преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;
сообщается тема занятия, его цель: На этой лекции мы познакомимся с понятием гармонической четверки точек, изучим теорему о свойствах полного четырехвершинника.
. Изложение нового материала осуществляется с помощью традиционных методов обучения и слайдов по теме Полный четырехвершинник, которые отражаются мультимедиа-проектором и содержат основной материал лекции.
2. Гармонические четверки. Полный четырехвершинник
Четверка точек прямой называется гармонической, если . Говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно точек и или что пары , и , гармонически разделяют одна другую. Точку называют при этом четвертой гармонической к упорядоченной тройке точек , , .
Из свойств сложного отношения четырех точек, заключаем, что в случае гармонической четверки точек , , , их сложное отношение не меняется только при перестановке пар точек, но и при перестановке точек одной пары:
Аналогичными свой?/p>