Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ы три точки . Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку .
Решение:
Будем считать плоскость чертежа евклидовой плоскостью, поэтом различим два случая.
)Точка лежит вне отрезка (рис 8, а).
Будем считать и вершинами некоторого полного четырехвершинника, а - его диагональной точкой. Возьмем вне прямой точку (вторая диагональная точка). Построим и (пара противоположных сторон). Из точки (которая пока без пары) проведем к треугольнику секущую ( и - третья и четвертая вершины; лежит на , - на ).
Рис 8, а
Построим прямые и ; получим точку (третья диагональная точка). Наконец, построим прямую (диагональ) и получим точку . В силу того, что на каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, получаем - пара точек гармонически разделяет пару точек .
Точка не зависит от выбора точки и секущей .
) Точка лежит внутри отрезка (рис 8, б)
Снова будем считать и вершинами некоторого полного четырехвершинника, но теперь диагональной точкой будем считать не , а искомую точку .
Рис 8, б
Возьмем вне прямой точку (диагональная точка). Построим прямые и (пара противоположных сторон и диагональ). На прямой возьмем точку (вторая диагональная точка) и построим прямые и (пара противоположных сторон); получим точки и (третья и четвертая вершины). Наконец, построим прямую (сторона, противоположная ) и получим точку (третья диагональная точка). В силу того, что на каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, получаем, что пара точек гармонически разделяет пару точек .
Как в первом, так и во втором случае мы строим одну и ту же фигуру. Разница заключается лишь в очередности построения прямых и .
Задача №12.
Даны три прямые пучка (рис. 9). Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую прямую .
Решение:
Будем считать и парой противоположных сторон некоторого полного четырехвершинника, а - его диагональю. Тогда центр пучка будет диагональной точкой этого четырехвершинника, а искомая прямая будет второй диагональю, проходящей через , так как через каждую диагональную точку полного четырехвершинника проходит гармоническая четверка прямых.
Рис. 9
Возьмем на прямой точку (вторая диагональная точка). Проведем из к углу две секущие (вторая пара противоположных сторон). Мы получим четыре точки: (вершины). Построим прямые и (третья пара противоположных сторон) и получим точку (третья диагональная точка). Прямая (диагональ) и есть искомая прямая .
Задача №13. Найти координаты точки С в репере на прямой, если в этом репере: A(2;3), В(-1;1), D(-3;5), а сложное отношение
Задача №14. Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(5;12), B(9;3), C(10;7). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .
Задача №15 Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек
Приложение 2
Элементы проективной геометрии на факультативе в школе
Что такое проективные свойства фигур? Это те свойства, которые сохраняются при центральном проектировании, когда проектирующие лучи не параллельны некоторой фиксированной прямой, а выходят из заданной точки пространства, называемой центром проектирования.
Параллельное проектирование - своего рода частный случай центрального проектирования, если считать, что центр проектирования бесконечно удален. Наша цель - познакомить школьников на доступном уровне с некоторыми свойствами центрального проектирования и их практическими применениями.
Проективные теоремы и задачи
В геометрии встречаются свойства фигур различной природы: метрические, аффинные, проективные.
Как же распознать проективные теоремы и задачи? Как правило в их условии речь идет о взаимном расположении точек и прямых и часто требуется доказать, что некоторые три прямые имеют общую точку или что три характерные точки лежат на одной прямой. Например: Даны три окружности. Докажите, что точки A, B и C пересечения общих касательных к парам этих окружностей лежат на одной прямой . К проективным относятся упоминающиеся в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и др. теоремы Паскаля, Брианшона и некоторые другие утверждения.
О возможностях использования элементов проективной геометрии в школе
Умение распознавать природу тех или иных рассматриваемых свойств фигур способствует успешному решению самых разных геометрических задач.
Если задача метрическая, то нужно ввести обозначения длин отрезков и величин углов, выбрать подходящий треугольник (или другую фигуру) и составить связывающие её элементы тригонометрические соотношения и т.д. Аффинную задачу проще рассмотреть на некоторой параллельной проекции исходного чертежа. А вот задачу на проективные свойства фигур целесообразно решать средствами проективной геометрии, позволяющими быстрее достичь цели.
С помощью теорем проективной геометрии удается легко справиться и с другими задачами, которые не являются чисто проективными, однако имеют близкое происхождение. Это касается, например, такой задачи: Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него.