Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны.
Кроме того, свойства центрального проектирования имеют важное практическое значение. В частности, они нашли широкое применение в живописи. Знание этих свойств помогает понять геометрические основы законов изображения предметов в линейной перспективе, которыми уже несколько столетий пользуются художники, пишущие в реалистической манере.
Проективные свойства фигур довольно сложны и малопригодны в учебном процессе, но некоторые из них могут быть рассмотрены на факультативе. Ниже предлагаются разработки нескольких таких факультативных занятий. Их главная цель - расширить кругозор школьников, познакомив их с элементами проективной геометрии.
Занятия рассчитаны на учащихся, освоивших курс планиметрии в рамках учебника Л.С. Атанасяна и др., но не изучавших на уроках приложений к учебнику. Приложение 4 Некоторые замечательные теоремы планиметрии содержат интересующие нас утверждения и задачи на доказательство (отличающиеся повышенным уровнем сложности), например упомянутую задачу о трех окружностях. Помимо неё, рассмотрим еще две-три задачи, которые будут интересны ученикам, а также затронем вопросы проективной геометрии, тесно связанной с живописью и гармонией (учением о музыке). Отметим, что из содержания материала были исключены те специальные термины и факты, без которых можно было обойтись при достижении поставленной цели.
Занятие 1. Гармония отрезков
На рис. 10 точка C отрезка AB делит его в отношении 3 : 1, т.е. . Иначе говоря, точка C находится в три раза ближе к B, чем к A. На прямой AB существует еще одна точка (назовем её D), которая обладает таким же свойством. Говорят, что точка D делит отрезок AB в том же отношении, но только внешним образом:
.
Рис 10.
Четверку точек A, B, C, D будем называть гармонической. Отметим, что важен порядок перечисления точек в четверке. В нем заключена информация о том, что точки C и D делят отрезок AB в одинаковом отношении. Говорят также, что первая пара элементов (A,B) разделяет вторую - (C,D).
Очевидно, что существует бесконечно много гармонических четверок точек. Например, на рис. 11
.
Рис. 11
Для каждой такой четверки характерно, что
.
Верно и обратное: если точки A, B, C, D удовлетворяют такому соотношению, то они гармонически расположены.
Комментарий. Здесь и далее мы не вводим определение четырех точек с его правилом знаков. Будем говорить лишь о делении отрезка в одинаковом отношении, т.е. гармонии отрезков.
Происхождение названия непосредственно связано с музыкальной гармонией. Как известно, во времена Пифагора в математику включили четыре раздела: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (от греч. слаженный, соразмерный). Для чисел a и древние греки вводили не только среднее арифметическое и среднее геометрическое , но и среднее гармоническое . Отсюда происходит название гармонического ряда - числового ряда , каждый член которого есть среднее гармоническое соседних членов.
В гармонии, в частности, изучалась связь между размерами струн и высотой их звучания. Пифагор знал, что длины струн, дающих ноты мажорного трезвучия (до, ми, соль), связаны с числами 1, и . Здесь - среднее гармоническое чисел 1 и .
Так если открытую гитарную струну (AD=60 см, рис 12) настроить на до, зажатые струны (CD=48 см, BD=40 см) дадут соответственно ми и соль. Легко видеть, что
,
т.е. четверка точек A, B, C, D - гармоническая.
Рис 12
Гармонические четверки точек часто встречаются в геометрии окружностей.
Например, для двух окружностей разного радиуса с центрами и внутренний и внешний центры гомотетии (точки H и S соответственно) делят отрезок в одинаковом отношении (рис. 13), т.е.
.
Это равенство следует из подобия изображенных на рисунке прямоугольных треугольников.
Рис 13
Если же окружности имеют равные радиусы (рис. 14), то внешний центр S гомотетии как бы устремлен в бесконечность (бесконечно удален). Договоримся и в этом случае считать четверку точек гармонической.
Рис 14
Занятие 2. Перспектива
Рассмотрим рис. 15. Пусть изображенные на нем точки A, B, C, D образуют гармоническую четверку. Они видны из точки S как бы сквозь точки другой прямой.
Рис. 15
Такое расположение точек называют перспективным (от лат. perspicere - смотреть сквозь), а точку S - центром перспективы. В этом случае говорят, что ряд точек проектируется из центра S в ряд точек и наоборот, второй ряд точек проектируется в первый.
Оказывается, сквозь гармоническую четверку точек одной прямой можно увидеть только гармоническую четверку точек другой прямой.
Утверждение 1.
Если , то (рис. 15).
Доказательство. Опустим из центра перспективы на прямую AD перпендикуляр SH и рассмотрим треугольник с общей вершиной S и основаниями, лежащими на прямой AD (рис. 15). Поскольку треугольники имеют общую высоту, их основания относятся как площади фигур.
Для треугольника ASC и BSC имеем:
откуда
Для треугольников BSD и ASD имеем:
Перемножив почленн