Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
о левые и правые части двух последних равенств, получим:
.
Аналогично, опустив перпендикуляр на прямую и рассмотрев соответствующие треугольники, можно доказать, что
.
По условию , значит, и .
Замечание 1. При проектировании гармонической четверки точек прямые оказались связаны зависимостью . Такую четверку прямых будем называть гармонической.
Итак, прямые проходящие через центр проектирования и четверку гармонически расположенных точек, образуют гармоническую четверку. Верно и обратное: если прямые, проходящие через центр проектирования, гармонически расположены, то четверка точек, образующаяся при их пересечении некоторой прямой, также будет гармонической.
Замечание 2. Если четверка точек одной прямой не является гармонической, а - перспективная с ней четверка точек, то и в этом случае
.
Иначе говоря, значение произведения сохраняется при центральном проектировании.
Занятие 3. Теорема о трех окружностях
Итак, мы выяснили, что такое гармоническое расположение четырех точек прямой, и установили, что оно сохраняется при перспективе. Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Если две гармонические четверки точек и имеют общую точку , то для них найдется общий центр перспективы.
Доказательство. Пусть прямые и пересекаются в некоторой точке. Покажем, что она и есть искомый центр перспективы (рис. 16).
Действительно, в противном случае прямая пересекла бы прямую не в точке , а в какой-то другой точке X. Тогда согласно утверждению 1, точка X делила бы отрезок в том же отношении, что и точка D а, значит, и точка , что невозможно. Следовательно точки X и совпадают, а S - искомый центр перспективы.
Рис.16
Замечание. Если бы прямые и были параллельны, то и прямая была бы им параллельна. Это означало бы, что центр S перспективы бесконечно удален. Такой случай мы считаем вырожденным и не рассматриваем.
На основе доказанного утверждения можно решить, например, задачу о трех окружностях.
Задача 1. Докажите, что внешние центры гомотетий трех окружностей лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть даны окружности с центрами . Обозначим внешние центры гомотетий буквами , а внутренние центры - буквами .
Четверки точек и являются гармоническими и имеют общую точку , значит для них существует центр перспективы (утверждение 2). Итак, прямые должны пересекаться в одной точке и это точка . Следовательно, внешние центры гомотетий расположены на одной прямой.
Занятие 4. Четырехвершинник
Выделим на рис. 16 фигуру состоящую из четырех точек - (никакие три из них не лежат на одной прямой!) и шести прямых - . Эта фигура называется четырехвершинником . Указанные точки называются его вершинами, а прямые - сторонами.
Четырехвершинник легко построить путем проведения прямых через все пары отмеченных вершин.
Рис. 17
Замечание. На практике построение произвольного четырехвершинника удобно начинать не с вершин (иначе некоторые прямые могут пересечься за пределами чертежа), а с двух сторон и вспомогательной прямой . И далее следовать представленной на рис. 17 схеме.
Утверждение 3. В любом четырехвершиннике, построенном по указанной на рис. 17 схеме, четверка точек получится гармонической.
Доказательство. На рис. 16 четверка точек проектируется из центра в четверку точек . Согласно замечанию 2 (занятие 2),
.
В четверку точек также проектируется, но уже из центра , четверка точек (обратите внимание на порядок точек в этом случае!). Имеем:
.
Перемножив почленно левые и правые части этих равенств, получим
, откуда .
Следовательно, четверка точек - гармоническая.
Покажем теперь, как отмеченное свойство четырехвершинника применяется при решении задач планиметрии.
Задача 2. Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны.
Доказательство. Пусть и . Покажем, что .
Проведем прямую KE и обозначим точку её пересечения с прямой AB буквой P (рис. 18).
Рис. 18
Рассмотрим четырехвершинник . Так как четверка точек - гармоническая (утверждение 3), то и проектирующие её из центра H прямые HK, HE, HM, HP составляют гармоническую четверку, поэтому, согласно замечанию 1 (занятие 2),
=1.
Итак, , а так как углы острые, то .
Если прямые KE и AB параллельны, то к точкам A, B и H четвертой гармонической будет бесконечно удаленная точка. В этом случае H - середина отрезка AB и из свойств осевой симметрии следует равенство углов и .
Замечание. Из доказанного в задаче 2 утверждения следует, что если серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке O, расположенной внутри треугольника, то она является одновременно точкой пересечения высот в треугольнике и точкой пересечения биссектрис в треугольнике .
Задачи для самостоятельной работы
. На прямой отмечены точки A, B и C. Постройте четвертую гармоническую к ним точку D, если точка C:
а) лежит между точками A и B и AC>BC;
б) лежит вне отрезка AB;
в) является серединой отрезка AB.
2. Докажите, что пересекающиеся прямые a и