Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?. Современные методы обучения в высшей школе. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. - 174 с.
Приложения
Приложение 1
Задачи
Задача №1.
Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(2;3), B(3;-1), C(4,1), D(5,3). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.
Решение
1) Вычислим сперва значение сложного отношения (AB,CD) по формуле (3).
2) Как известно, четыре элемента допускают перестановки. Согласно свойствам сложного отношения,
Таким образом, 24 перестановки букв A, B, C, D распадаются на шесть четвёрок, каждой из которых соответствует одно и тоже значение сложного отношения. Следовательно, сложное отношение данных четырёх точек не более шести различных значений:
) ,
) ,
) ,
) ,
) ,
),
где ,.
В нашем случае сложное отношение принимает следующие шесть значений:
Задача №2
Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;1), B(2;11), C(1;9). Они лежат на одной прямой. Найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .
Решение:
Пусть в репере . Согласно формуле (3) получаем:
Но, по условию известно, что . Тогда
Значит, искомая точка D(1,3).
Задача №3
Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(-3;1), B(2;11), C(1;9). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .
Решение:
(4;8), (1;2), тогда . , , тогда По формуле (6): Получаем:
, откуда: , .
Значит, D(7,21).
Задача №4
Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(1;0;2), B(3;-1;1), C(0;2;3), D(1;1;-2), заданные в репере плоскости.
Решение:
Спроектируем точки A, B, C, D на прямую из центра . Получим . При этом . Тогда:
.
Аналогично, при проецировании из центра , имеем:
.
При проецировании из центра , имеем:
.
Так как во всех трёх случаях получили разные результаты, то можно сделать вывод, что точки не лежат на одной прямой.
Задача №5 Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(4;3), B(5;6), C(-2,1), D(7,13). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.
Задача №6 Найти координаты точки B в репере на прямой, если в этом репере: A(-4;0), C(1;10), D(0;8), а сложное отношение
Задача №7 Три точки заданы своими аффинными координатами: A(-4;0), B(3;6), C(5;9). Они лежат но одной прямой. Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .
Задача №8.
Используя свойства полного четырёхвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.
Решение:
Пусть продолжение боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке E,а диагонали - в точке F (рис. 5). Прямая EF пересекает основания трапеции AB и CD в точках M и N соответственно. Требуется доказать, что точки M и N являются серединами оснований.
Рис. 5
Рассмотрим полный четырёхвершинник ABCD. Точки E и F являются его диагональными точками. Третьей диагональной точкой является несобственная точка параллельных сторон AB и CD. Так как, на каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек, то четвёрка точек - гармоническая; значит . В силу того, что - несобственная точка прямой AB, значение сложного отношения , то есть, последнее равенство равнрсильно следующему: . Значит, что M есть середина отрезка AB. Точно так же доказывается, что N середина отрезка CD.
Задача №9.
Даны две прямые и точка , не лежащая ни на одной из них. Через точку проведены две прямые и : Доказать, что точка при любом выборе прямых и лежит всегда на одной и той же прямой , проходящей через точку .
Решение:
Рис. 6
Обозначим прямую через . Рассмотрим полный четырёхвершинник . Его диагональными точками являются , прямые и - две его диагонали. Так как, через каждую диагональную точку полного четырёхвершинника проходит гармоническая четверка прямых, то есть пара прямых гармонически разделяет пару прямых . Отсюда следует, что как только заданные прямые и точка , так однозначно определяется третья прямая , а затем и четвёртая гармоническая прямая . Итак, прямая зависит только от и , но не от и .
Задача №10.
Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек
Решение:
1) Рассмотрим полный четырехвершинник . Его диагональными точками являются и . Диагональ пересекает сторону четырехвершинника в точке, четвертой гармонической к . Но согласно условию, гармонически разделяет ; значит, прямая проходит через точку , а поэтому и через . Итак, прямые и действительно сходятся в точке .
Рис. 7
) Рассмотрим полный четырехвершинник . Точки и - его диагональные точки, прямая - диагональ. Она пересекает противоположные стороны и , проходящие через третью диагональную точку, в точках и соответственно; следовательно в силу того, что на каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, пара точек гармонически разделяет пару точек .
Задача №11.
На прямой дан