Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
нчивая изучение вопросов темы Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник проективной геометрии, следует указать, что здесь решены такие вопросы:
) получены основные формулы для вычисления сложного отношения точек;
) изучены общие методы построения полного четырехвершинника и способы построения четвертой гармонической точки.
2.2 Планы-конспекты лекционных занятий
Лекция №1
Тема: Сложное отношение четырех точек
Цель: обучающая: познакомить студентов с понятием сложного отношения точек и сложного отношения четырех прямых пучка, рассмотреть свойства сложного отношения четырех точек прямой и сложное отношение четырех прямых пучка;
развивающая: развивать память, логическое мышление, умение анализировать, выделять закономерности, обобщать, способность быстро ориентироваться в ситуации;
воспитательная: воспитывать положительное отношение к процессу обучения, уважение к сверстникам и преподавателю.
Тип занятия: лекция.
Структура занятия:
.Организационный момент (2 мин).
.Мотивация к изучению темы (3 мин).
.Изложение нового материала (80 мин).
.Итог занятия (5 мин).
Ход занятия
.Организационный момент.
преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;
сообщается тема занятия, его цель: Сегодня мы продолжаем изучение Проективной геометрии, рассмотрим тему Сложное отношение четырех точек прямой, которая будет читаться в течении одной лекции. На этой лекции мы познакомимся с понятием сложного отношения четырех точек прямой, а так же узнаем основные свойства сложного отношения четырех точек прямой, сложное отношение четырех прямых пучка.
.Мотивация к изучению темы.
Начнём с того, что необходимость изучения темы Сложное отношение точек проективной геометрии вытекает из её роли в дальнейшей педагогической деятельности.
Например: Часто предлагаемые на школьных олимпиадах задачи довольно трудно решить, зная только школьный курс геометрии, но при более глубоком изучении геометрии в вузе решение таких задач становится гораздо легче. Так например, некоторые задачи носят проективный характер, и при их решении необходимы знания отношения четырех точек прямой, а также четырех прямых пучка.
Всё это требует знания различных свойств сложного отношения точек. И вы, как будущие учителя, всё это должны знать, так как, с одной стороны, изучение этих вопросов углубляет его понимание элементарной геометрии, а с другой стороны, расширяет кругозор студентов как будущих учителей математики.
. Изложение нового материала осуществляется с помощью традиционных методов обучения и слайдов по теме Сложное отношение точек, которые отражаются мультимедиа-проектором и содержат основной материал лекции.
1. Сложное отношение четырех точек (четырех прямых)
1. Определение сложного отношения четырех точек прямой
Пусть точки лежат на одной прямой и заданы своими координатами: в некотором репере .
Определение. Сложным отношением упорядоченной четверки точек называется число равное
. (1)
Коротко можно записать так , где определитель составленный из координат точек и .
Сложное отношение точек не зависит от выбора проективного репера. Если - собственные точки прямой, то выполняется равенство:
. (2)
Пусть точки имеют координаты: , , . Поскольку проективные координаты определяются с точностью до проективного множества, то можно считать, что эти точки имеют координаты:
, , , . (*)
Где , ,,. Поскольку, сложное отношение точек не зависит от выбора репера, то в качестве репера можно выбрать репер , тогда будут являться аффинными координатами на данной прямой.
Найдем простое отношение (используя определение простого отношения): , .
Найдем сложное отношение по формуле (1), используя координаты (*):
.
Замечание 1. Несобственная точка делит любой отрезок прямой в отношении , то есть .
Замечание 2. Если выбрать в качестве репера , то в этом репере точка будет иметь координаты: . Зная сложное отношение точек , всегда можно найти расположение точки на прямой. В этом случае .
Значит, если , то .
2. Свойства сложного отношения четырех точек
10: Сложное отношение точек не изменится, если поменять местами пару точек: .
Доказательство: , . Учитывая, что получим, что . Свойство доказано.
20: Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .
Доказательство: , . Свойство доказано.
30: Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .
Доказательство: следует из свойства 20. . Свойство доказано.
40: .
Доказательства первого, второго и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.
Замечание. Пусть на прямой заданы точки , тогда
) тогда и только тогда, когда точки ,
) тогда и только тогда, когда точки .
3. Теоремы о сложном отношении точек и прямых
Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.
Доказательство. Пусть - проективное преобразование плоскости , прямая , ; точки переходят в отображении в точки . Как мы знаем, сужение есть проективное отображение . Это отображение вполне определяетс?/p>