Логико-математический исследование учебного материала темы "Квадратные неравенства"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
венство?
(Ответ: Решить квадратное неравенство - это значит найти множество всех х, для которых данное неравенство выполняется или доказать, что таких х нет)
. Какие ответы могут получиться при решении квадратного неравенства?
(Ответ: При решении квадратного неравенства могут быть три случая:
.Решений может не быть
.Решением может быть вся числовая ось
.Решением является объединение промежутков, содержащих знаки бесконечности.
.Решением может быть числовой промежуток.)
.В чем проявляется каждый коэффициент квадратичной функции на ее графике?
(Ответ: Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы; коэффициент с показывает на то, пересекает ли график ось Оу; коэффициенты а и b участвуют в вычислении вершины; так же все коэффициенты участвуют в вычислении дискриминанта, который влияет на наличие корней).
III.Подведение к изучению нового
Докажите, что на чертеже изображено решение данного неравенства.
Учащиеся выходят к доске и, рассматривая каждое неравенство, доказывают, что на графике изображено его решение.
Так, на графике 1 изображено решение неравенства . Т.к. старший коэффициент а=2>0 => ветви параболы направлены вверх. Дискриминант больше нуля, следовательно, существует два корня - две точки пересечения с осью Ох.
На графике 2 изображено решение неравенства . Т.к. дискриминант меньше нуля, следовательно, пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент а=2>0, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
На графике 3 изображено решение неравенства . Т.к. старший коэффициент а=-1<0, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня - две точки пересечения графика с осью Ох.
На графике 4 изображено решение неравенства . Старший коэффициент а =1>0, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Дискриминант равен нулю, следовательно одна точка пересечения графика с осью Ох.
Найдите решение неравенств на графиках.
Учащиеся выходят к доске и самостоятельно указывают промежутки, которые будут являться решениями данных неравенств.
IV.Введение нового
Итак, ребята, возникает вопрос: как же все таки нам решать квадратные неравенства?
Давайте рассмотрим несколько примеров.
.Решить неравенство .
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена. Имеем , т.е. пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Схематически график уравнения имеет вид:
Мы видим, что весь график данной функции лежит выше оси Ох, т.е. все значения положительны. Следовательно, неравенство имеет решение на всей числовой прямой (-?, +?).
Рассмотрим второй случай:
.Пусть требуется решить неравенство .
Найдем дискриминант квадратного трехчлена. Имеем т.е. пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент трехчлена (число -1) отрицателен, т.е. ветви параболы направлены вниз.
Схематически график уравнения имеет вид:
Мы видим, что график данной функции лежит ниже оси Ох, т.е. все значения отрицательны. Следовательно, неравенство не выполняется ни при каком значении х, т.е. неравенство не имеет решений.
Теперь мы с вами можем ответить на поставленный вопрос и сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства.
. Найти корни квадратного трехчлена ax2+bx+c.
. Найти знак старшего коэффициента и с учетом этого определить направление ветвей параболы.
. Построить схематический график трехчлена.
. С помощью полученной геометрической модели определить, на каких промежутках оси х ординаты графика положительны (отрицательны); включить эти промежутки в ответ.
V.Закрепление нового
.Установите соответствие между графиками данных функций и функциями, входящими в данное неравенство. Укажите решение.
Учащиеся выходят к доске и сначала сопоставляют графики и вид неравенств, затем отмечают на графиках решение данных неравенств
.Решить неравенство. Записать решение по шагам.
Учащиеся выходят к доске. Обращают внимание на то, что квадратное неравенство является неполным. Разбирают с учителем как решить эту проблемы. Затем, следуя алгоритму, расписывают свои действия по шагам.
.Самостоятельно решить неравенство.
Ученики самостоятельно решают неравенство. Затем сверяются с преподавателем.
Приложение №2
Решение 1 варианта контрольной работы по теме Квадратные неравенства
Задание №1. Решить неравенство:
а) ; б) .
Решение:
а) .
Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.
Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему:
.
Решая систему, получаем , откуда .
Итак, все числа являются решениями неравенства .
Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицательны, т.е.
и .
Эти два неравенства образуют систему:
.
Решая систему, получаем , откуда .
Итак, все числа также являются решениями неравенства .
Ответ: , .
б) .
Произведение двух множителей отрицательно, если множители имеют разные знаки. Отсюда получаем две системы:
и
Первую систему можно записат?/p>