Исследование робастных свойств систем с модальным управлением
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
аточной точности соответствующих датчиков либо из-за сложности, невозможности или нежелательности их установки в силу тех или иных причин. Тем не менее, часто это препятствие можно устранить путем применения специальных динамических подсистем, называемых наблюдателями. Они позволяют осуществлять непрерывное, т. е. в темпе реальных процессов, оценивание полного вектора состояния динамической системы на основе информации о непосредственно измеряемых входных и выходных переменных данной системы [1].
Пусть в системе
(3.1)
непосредственно доступны лишь некоторые из переменных состояния
Входами наблюдателя являются вход и выход системы (объекта). Уравнение выхода для наблюдателя имеет вид .
Система является наблюдателем для системы (3.1), если из следует . Также это наблюдатель тогда и только тогда, когда
С учетом этого уравнения наблюдателя принимают вид
Выбором матрицы G собственные значения матрицы могут быть помещены в любые наперед заданные точки комплексной плоскости, или, что то же самое, характеристический полином может быть сделан равным произвольному желаемому полиному. Практически наблюдатель строят по эквивалентным уравнениям
Для расчета значений элементов матрицы G существует следующая методика:
. Составляем описание объекта в форме переменных состояния, и записываются матрицы A,B и C.
. Исследуется наблюдаемость объекта по измеряемому выходу.
. Записываются в буквенном виде матрица G и полином
. Назначается желаемый полином так, чтобы его корни располагались в несколько раз дальше от мнимой оси, чем корни характеристического полинома системы.
. На основании равенства составляется система уравнений
. Решая эту систему алгебраических уравнений, находятся искомые элементы матрицы G.
. Записываются уравнения и, при необходимости, составляется структурная схема наблюдателя.
Расчет наблюдателя с помощью системы Matlab. Для построения наблюдателя объектом (рис. 3.1) будем считать подсистему исходной системы с входом и выходом (эти переменные можно измерить с помощью датчиков). Восстановлению подлежат переменные и .
Рис. 3.1. Структурная схема объекта управления
Запишем уравнения состояния в векторно-матричной форме:
,
где
y=x1;
,
где
Объект управляем (анализ управляемости не приведен).
Запишем матрицу G в общем виде .
Выбираем желаемый полином как стандартный полином Баттерворта третьего порядка , где - среднегеометрический корень наблюдателя, выбранный в соответствии с рекомендациями [6] в два раза большим, чем
При использовании системы Matlab методика немного изменяется. Мы опять можем применить функцию acker(), но для этого необходимо свести задачу поиска матрицы G наблюдателя к задаче поиска матрицы K модального регулятора. Это достигается путем использования вместо матриц A и B транспонированных и соответственно, а результат, найденный с помощью функции acker(), также необходимо транспонировать.
Программная реализация расчета матрицы G:
format short gn=100;=2;=2;=[-0.625 -156250 0.625;0.00336 0 -0.00336;2.35 588235 -2.35];=[1 0 0];=[1 f1*w0n f2*w0n^2 w0n^3];=roots(Dn);=A';=C';=acker(A1,B1,R);
G=K'
Результат вычислений представлены в табл. 3.1, 3.2.
Таблица 3.1
Значения матрицы G для полинома Баттерворта
2547.0250.0081275-147.285097.025-0.01504-127.16100197.02-0.104371163.1
Таблица 3.2
Значения матрицы G для биномиального полинома
2572.0250.0041271-241.3950147.03-0.031041-315.38100297.03-0.16838786.7
Составим структурную схему объект-наблюдатель (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Структурная схема системы объект-наблюдатель
Моделирование показало, что динамические свойства системы с модальным управлением по истинным и восстановленным (с помощью наблюдателя) переменным идентичны.
.2 Анализ чувствительности оценок, вырабатываемых наблюдателем, к вариациям параметров объекта управления
Проанализируем, как изменилась чувствительность показателей качества динамики системы с модальным регулятором к параметрическим возмущениям с введением наблюдателя. На рис. 3.3 показана структурная схема системы, с модальным регулятором и наблюдателем, в которой мы заменяем переменные и на их оценки , , а переменную оставляем без изменения. Параметры наблюдателя рассчитаны исходя из номинальных значений параметров объекта управления.
Рис. 3.3. Структурная схема системы с модальным регулятором и наблюдателем
Сначала проанализируем, как меняется чувствительность показателей качества динамики системы с модальным регулятором к изменениям жесткости с.
На рис. 3.4 показаны переходные характеристики по переменным и для случая, когда фактическое значение жесткости с в два раза меньше номинального: с=сн/2.
Как видно из графиков, переходные характеристики по этим переменным практически идентичны.
Рис. 3.4. Анализ качества оценивания наблюдателем переменной в системе с модальным регулятором при с=сн/2
На рис. 3.5 показан аналогичный анализ качества оценивания наблюдателем переменной. Здесь становится заметным отличие оценки от истинной переменной.
Рис. 3.5. Анализ качества оценивания наблюдателем переменной : 1 - график переходной характеристики по ; 2 - график переходной характеристики по
На рис. 3.6 показаны переходные характеристики по переменным и для случая, когда фактическое значение жесткости с в два раза меньше номинального: с=сн/2.