Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?ы.
204. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН == -.
205. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСВ пересекаются в точке О. М\ и Мч центры масс треугольников ВОС и АОВ, Н\ и Й2 ортоцентры треугольников АВО и СОО. Используя результат задачи 204, докажите, что прямые М\Мч и Й1Й2 взаимно перпендикулярны.
206. АВ и АС хорды окружности. На продолжении АВ отмечена точка N на расстоянии АВ от АС и на продолжении АС отмечена точка М на расстоянии АС от АВ. Докажите, что МН равен диаметру данной окружности.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
207. Докажите, что в треугольнике Тоа == "л/262 + 2с2 о2.
А
208. Используя результат задачи 207, установите, что".
а) т1 + т1 + от? = -|-(о2 + Ь2 + с2); б) от4 + т1 + те4 =
-^(о4+&4+с4).
209. Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей.
210. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.
211. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О. Периметры треугольников АВО, ВСО и параллелограмма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма.
212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей?
213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма?
ДЕСЯТЫЙ КЛАСС
Аксиомы стереометрии
и следствия из них
1. На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?
2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).
3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.
4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?
5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба?
6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?
7. На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько различных плоскостей могут определять эти точки?
8. Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если линии пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются а и р.
9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.
10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.
11. Даны п > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.
Параллельность прямых в пространстве
12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.
13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограмма К^МN, причем К середина АВ, Ь середина ВС, М середина СО. Является ли N серединой отрезка А07
14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в одной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.
15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пересекают ни одной из названных плоскостей?
16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые пересекают эти плоскости: одна в точках А и В, другая в точке С и еще одной, которую требуется построить.
17. Точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех параллелограммов.
18. Точка М лежит вне плоскости правильного шестиугольника АВСОЕР. Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС, параллельна: а) АО; б) СО?
19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС.
20. Точка М находится вне плоскости правильного пятиугольника АВСОЕ. Каким сторонам или диагоналям пятиугольника параллельна прямая, проходящая через центры масс треугольников МАВ и МАЕ7
21. М и Nцентры граней АВВ\А\ и ВСС\В\ куба АВСОА\В\С\0\. Каким ребрам или диагоналям граней куба параллельна прямая МН?
22. АВСОЕР замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и АР, СО и ЕР равны и параллельны. Параллельны ли звенья АВ и ОЕ!
23. АВСТ) квадрат со стороной 6 см. Точка М удалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Определите расстояние от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата.
24. Периметр правильного шестиугольника АВСОЕР равен Р. Точка О, находящаяся вне плоскости шестиугольника, соединена отрезком с каждой его вершиной. Из центра масс треугольника ОАВ проведены до пересечения в точках М), Мч, Мз, М^, Мв, Мб с плоскостью шестиугольника прямые, соответственно параллельные