Задачи Лоповок

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

реугольник, стороны которого равны суммам скрещивающихся ребер этой пирамиды. Докажите.

59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые соединяют середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, в 4 раза меньше суммы квадратов ребер этой пирамиды.

61. Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоугольными треугольниками?

62. Плоские углы при вершине пирамиды прямые. Докажите, что сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания пирамиды.

63. Основание пирамиды параллелограмм, стороны которого 16 и 22 см. Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, найдите длины боковых ребер пирамиды.

64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60, а между их проекциями 120. Найдите высоту пирамида.

65. Основание пирамиды параллелограмм, периметр которого 48 см. Центр основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды 9, 11, 12, 13 см. Найдите стороны основания.

66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды оказаться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом;

в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиугольником; д) трапецией?

6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами двух равных правильных пирамид с общим основанием.

6в. Докажите, что только при п == 3 развертка полной поверхности

п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

9. Если плоские углы при вершине пирамиды прямые, то высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

Т. Основание пирамиды квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды относятся, как 1:2:5:2. Найдите величины этих углов.

71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды МАВС имеет длину I и образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75. Паук начал ползти из вершины А и, побывав на всех боковых гранях пирамиды, вернулся в ту же точку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути паука.

72. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды МАВСВЕР равна а, угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает, 80. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в точку А. Определите наименьшую возможную длину пути паука.

73. Из каждой вершины основания правильной четырехугольной пирамиды, площадь основания которой равна О, опущены перпендикуляры на плоскости граней, не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих перпендикуляров К, Ь, М, N (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости, и найдите площадь четырехугольника К^МN.

74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны и имеют длины а, Ъ, с, то высота пирамиды Н связана с ними соотношением: Н 2 + с~2. Докажите.

75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треугольной пирамиды равны, то высоты пирамиды пересекаются в одной точке Г Докажите

.

Площадь поверхности пирамидах

 

76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины 2, 4, 16 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды 120, площадь основания О. Определите площадь боковой поверхности пирамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каждого диагонального сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади боковой поверхности пирамиды? Если да, то при каком условии?

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей остальных боковых граней? Может ли она превысить названную сумму площадей? Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и диагональных сечений. Найдите величину плоского угла при вершине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь поверхности которой О, проведены параллельно боковым ребрам пирамиды прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамиды ОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды прямой. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, чтобы оно было равносторонним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырехугольной пирамиды О. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отношении 1:5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите п?/p>