Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
> Ортогональная проекция треугольника а\в}с\ на плоскость АВС ^А^В^Сч,
стороны которого 12, 17, 25см. Найдите угол между плоскостями АВС и 6.
183. Докажите, что при параллельном проектировании двух многоугольников, лежащих в одной плоскости, на одну и ту же плоскость площади проекций относятся, как площади многоугольников.
184. На плоскости 6 находятся квадрат и треугольник. Периметр квадрата 32 см, стороны треугольника 13, 37, 40 см. Проекция квадрата на плоскость б прямоугольник со сторонами 5 и 8 см. Определите площадь проекции треугольника на плоскость 6.
185. Проекция квадрата АВСВ на плоскость 6 прямоугольник АВЕР, причем ортогональная проекция точки Р делит отрезок АВ в отношении 1 : 3, считая от А. Найдите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника.
186. Ортогональная проекция квадрата на плоскость четырехугольник со сторонами 2 и 4 см и диагональю 5 см. Определите площадь квадрата и угол между плоскостью квадрата и плоскостью проекции.
Уравнение плоскости
187. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; 3; 8) и отсекает на координатных осях равные отрезки.
188. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает оси Ох, Оу, Ог в таких точках А, В, С, что АВ = 10, АС ==. 17, ВС == 3 У29.
189. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки (0; 2; 5), (1; 0; 3), (1; 4; 0).
| 190. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает две координатные плоскости по прямым Зх 2г 6 == О и Зу + 5г -^- 15 == 0.
191. Напишите уравнение плоскости, которая параллельна оси Ог и проходит через точки А(1; 5; 3) и 5(4; 2; 1).
192. Найдите угол между плоскостями ху и + ^+
_1_ г _ 1 + 12-- 1- ^
ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС
Многогранник
1. На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пирамиды?
2. Изобразите многогранник с общим числом ребер: а) 11;
б) 13.
3. Докажите, что никакой многогранник не имеет ровно 7 ребер.
4. Изобразите многогранник, отличный от пирамиды, у которого вершин столько же, сколько граней.
5. Даны 5 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Определяют ли данные точки единственный многогранник с вершинами в этих точках?
6. Может ли существовать многогранник с нечетным числом граней, причем все его грани четырехугольники?
Призма
7. Иногда призму определяют как многогранник, у которого две грани многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а все остальные грани параллелограммы. Приведите примеры, свидетельствующие о неточности такого определения.
8. Изобразите призму, у которой вершин столько же, сколько диагоналей.
9. Может ли неправильная призма иметь 4 плоскости симметрии? Если да, изобразите призму, отвечающую этому условию.
10. Ребро куба 2 см. Паук находится в центра грани куба. Какой наименьший путь по поверхности куба придется проделать пауку, чтобы попасть х вершину параллельной грани? __
11. АВСРЕРА\В\С1Р\ЕлР\ призма. Докажите, что АВ\ + + ВС) + СД == А?1 + РЁ1 + ЯА.
12. Диагональ боковой грани правильной йстиугольной призмы образует с плоскостью основания угол, который на 15 больше угла между малой диагональю призмы и плоскостью основания. Найдите эти углы.
18. А и В середины двух несмежных боковых ребер правильной шестиугольной призмы. Найдите на плоскости нижнего основания призмы вое такие точки, что прямые МА и МВ образуют равные углы с плоскостью нижнего основания приемы.
14. Верно ли, что площадь боковой грани треугольной призмы меньше суммы площадей остальных боковых граней?
15. Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани.
16. Три диагонали четырехугольной приемы имеют общую точку О. Докажите, что и четвертая диагональ приемы проходит через точку О.
17. Стороны основания прямой треугольной призмы относятся, как 5 : 9 : 10. Диагонали двух меньших боковых граней 26 и 30 см. Найдите площадь третьей боковой грани.
18. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо него, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала.
19. Основание призмы прямоугольный треугольник АВС, две боковые грани (АВВ\А\ и АСС\А\) квадраты. Найдите ^ В^АСх.
20. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от всех вершин данной правильной треугольной призмы.
Площадь поверхности призмы
21. Докажите, что площадь боковой грани любой призмы менее половины площади боковой поверхности призмы.
22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большой диагонали основания. Найдите отношение площадей боковой и полной поверхности призмы.
23. Расстояния боковых ребер треугольной призмы от параллельных боковых граней равны 12, 15, 20см; меньшая боковая грань имеет форму квадрата и перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы.
24. Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы соответственно равны 480, 312, 200, 128 см2. Найдите высоту призмы.
25. Основаш1е прямой призмы ромб. Зная, что ее высота и диагонали 40, 41, 50 ем, найдите площадь боковой поверхности призмы.
26. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны до 3 см.