Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Найдите площадь поверхности призмы.
27. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Диагонали двух соседних боковых граней, проведенные иа одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
28. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильная п- угольная призма, у которой диагональ боковой грани и?
29. Основание прямой призмы четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности призмы.
Сечение призмы плоскостью
30. Докажите, что сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вершины, является остроугольным треугольником.
31. Через боковое ребро треугольной призмы проведены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое через ее центр. Зная, что плоскости сечений делят угол между двумя боковыми гранями на три равные части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы.
32. Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба, чтобы оно имело форму квадрата.
33. Ребро куба о. Построено сечение, имеющее форму правильного /г-угольника. Для каких п и как именно можно построить такие сечения? Вычислите его площадь для каждого
ВОЗМОЖНОГО 71.
34. Дан куб АВСТ>А\В\С\1)\. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ и ВС параллельно диагонали В^\.
35. Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение, проходящее через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет форму квадрата. Найдите площадь поверхности призмы.
36. В правильной четырехугольной призме сторона основания 2 см, высота 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных сторон основания и центр призмы (рис. 58).
37. Длина каждого ребра правильной шестиугольной призмы АВС^ЕРА\В\С\^\Е\1:^\ 4см. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ^.
38. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В\С\В\ боковая грань и сечение АВ\С равновелики. Найдите угол между плоскостью названного сечения и боковым ребром призмы.
39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треугольной призмы АВСА\В\С\ так, что сечением оказался равносторонний треугольник КЬМ периметра 36 см. Известно, что АК = 16 см, ВЬ= 11 см, СМ = 5 см. Найдите угол между медианой КВ сечения и плоскостью основания (рис. 59).
40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы, другое через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей сечений.
Параллелепипед
41. Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра параллелограмм. Докажите, что эта призма параллелепипед.
42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда I, диагональ его вдвое меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда.
84
43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат площади сечения с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда.
44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба втрое меньше диагонали куба.
45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его ребер.
46. Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10 см. Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными целыми числами, определите периметры граней параллелепипеда.
47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр основания 56 см. Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17, 10, 9 см. Найдите стороны основания.
48. Диагонали параллелепипеда АВСОА \В \С \В\ пересекаются в точке О. Периметры треугольников ОАА\, ОАВ и ОАО равны 36, 37, 29 см, АЛ, == 17 см, АВ = 11 см, АО = 6 см. Найдите диагонали параллелепипеда.
49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основания 10 и 11 см. Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными четными числами, найдите площади диагональных сечений.
50. Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите расстояния от центра параллелепипеда до вершин.
51. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см2. Если бы каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась бы 274 см2. Определите длину диагонали параллелепипеда.
52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.
53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, у которого длина диагонали и?
54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у которого сумма длин всех ребер 48 см?
Пирамиды
55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной плоскости?
56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме плоских углов при всех вершинах пирамиды. Определите число ребер этой пирамиды.
57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды.
58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно построить т