Задачи Лоповок

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

.

153. М центр грани ВСС\В\ куба. Найдите угол между прямыми А\М и ОМ.

154. Найдите на диагонали ВВ\ куба АВСВА\В\С\В\ такую точку Р, чтобы прямые АР и СР пересекались под прямым углом.

155. Найдите угол между направлениями ва[ и В\В\, если отрезки ВА\ и В\В\ диагонали соответствующих граней куба.

156. По условию задачи 152 найдите угол между направлениями А\М и ВВ\.

Угол между прямой и плоскостью

157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, образует с его диагональю угол в 30. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую она пересекает.

158. АВ высота прямоугольного треугольника АВС. Плоскость, проходящая через гипотенузу, образует с катетами

углы в 30 и 45. Найдите величину угла между этой плоскостью и АВ.

159. АВСВ квадрат, точка М находится вне его плоскости. Углы между прямыми МА, МВ, МС и плоскостью квадрата 45, 60, 45. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС.

160. Прямая I параллельна плоскости 6. Найдите на этой плоскости все такие точки М, что прямая, проходящая через М, пересекает б и образует равные углы с I и с плоскостью 6.

161. Прямая проходит черве вершину прямого угла и образует с его сторонами углы в 45 и 60. Какой угол она образует с плоскостью прямого угла?

162. Через сторону АВ равностороннего треугольника АВС проходит плоскость, образующая с прямой АС угол в 30. Найдите углы между этой плоскостью и высотами треугольника.

168. На плоскости ху дана окружность 4)2 -|-+ (у З)2 = 25. Точка А имеет координаты (0; 0; 5). Найдите на окружности такую точку В, чтобы угол между АВ и ху был наименьшим возможным.

164. АВСВ квадрат, точка М находится вне его плоскости. Прямые ВС т АС образуют с плоскостью АВМ углы, градусные меры которых разнятся на и. Определите величины этих углов.

166. Из точки М, находящейся вне плоскости 6, проведены к той плоскости наклонные МА == 23 см и МВ === 9 см. Зная, что углы между наклонными и плоскостью б относятся, как 1 : 3, определите расстояние от точки М до плоскости б.

1@6. Из точки М, удаленной от плоскости 6 на 24 см, построены две наклонные, длины которых относятся, как 5 : 8. Углы между наклонными и плоскостью относятся, как 1 : 2. Найдите длины наклонных.

167. Из точки М ^ б проведены к плоскости наклонные МА и МВ, проекции которых на плоскость 11 и 37 см. Зная, что углы между наклонными плоскостью относятся, как 3:1, найдите расстояние от М до 6.

168. МА и МВ - наклонные, образующие с плоскостью 5, содержащей точки А и В, углы, один из которых в 4 раза больше другого. Зная, что проекции наклонных на эту плоскость 600 и 119 см, найдите расстояние от точки М до плоскости &

189. Из точки М к плоскости 8 проведены наклонные МА и МВ дджнон 79 и 25 ем. Углы между наклонными и плоскостью отяовявтся, как 1 : 5. Найдите расстояние от точки М до плоскости 6.

17<^. В точке О к плоскости 6 восстановлен перпендикуляр. На иеж отаютенм точки А, В, С так, что АО ВО == 144 см, АО СО == 26 см. Зная, что углы между наклонными МА, МВ, МС и плоскостью относятся, как 1:4:3, найдите МО.

 

Угол между плоскостями

 

171. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых сумма расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна та?

172. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых разность расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна т?

173. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых расстояния от пересекающихся плоскостей а и |3 относятся, как т : га?

174. АВСТ) квадрат, треугольники МАВ и МВС равносторонние. Найдите угол между плоскостями треугольников.

175. Длины сторон трапеции 19, 19, 19, 45см. Плоскость проходит через основание трапеции под углом в 30 к плоскости трапеции. Найдите расстояние от этой плоскости до другого основания трапеции.

176. АВСВ квадрат. Точка М удалена от каждой стороны квадрата на АВ. Найдите угол между плоскостью квадрата и плоскостью МВС.

177. Точка М удалена от каждой стороны равностороннего треугольника АВС на радиус окружности, описанной около треугольника. Найдите угол между плоскостями АВС и МАВ.

178. Точка М находится внутри двугранного угла а и удалена от его граней на а и Ь. Найдите ее расстояние от ребра двугранного угла, если а, а, Ь соответственно равны: а) 120, 22см, 23см; 6)60, 2см, 11см; в) 30, 2см, 3 уз см;

г) 150,^11 см; 8 уз см; д) 45, ,10см, 7-^2 см; е) 135, 8 см, 7у2 см.

179. Точка М находится внутри двугранного угла в 45 и удалена от его ребра на 10 см. Найдите ее расстояния от граней двугранного угла, зная, что эти расстояния относятся, как 1 : 3 У2.

180. Сторона равностороннего треугольника 6 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если плоскости МАВ, МАС, МВС образуют с ней углы: а) 90, 30, 60; б) 60, 60, 30.

Площадь ортогональной проекции

181. Плоскости а и р пересекаются. Треугольник АВС находится на плоскости а, его ортогональная проекция на плоскость р Д А\В\С\. Ортогональная проекция на плоскость а треугольника А[В[С1 Д А уВъС-г. Найдите угол между плоскостями а и р, если площадь треугольника АчВгСч меньше площади треугольника АВС: а) вдвое; б) на 25 %.

182. Стороны треугольника АВС 25, 29, 36 см, его ортогональная проекция на плоскость 6 А А\В\С\.