Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
пендикуляр медиан АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину.
119. Плоскости квадрата АВСО и равностороннего треугольника АВМ взаимно перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианы МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.
Прямоугольные координаты в пространстве
120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3" 2), (8; 7, 1). Найдите координаты четвертой вершины.
121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1), (3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.
122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.
123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиугольника АВСОЕР: (3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите координаты остальных вершин и центра шестиугольника.
124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой плоскости.
125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; 1; 4), В(4;
3; 1), С(3; 7; 2)?
126. Докажите, что отрезки АВ и СО, концы которых находятся в точках А(; 1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при этом делятся в отношении 1:2.
127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке, чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.
128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскости ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите координаты точки пересечения.
129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от точек с координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).
Векторы в пространстве
130. АВСО прямоугольник, точка М находится вне его плоскости. Докажите, что МА2 + МС2 ==- МВ2 + МО2
131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, центр масс которого Т. Точка К делит отрезок МТ так, что МК == 3 КТ. Докажите, что АК + ВК + СК + МК = 0.
132. Если направление АВ образует с направлениями СО, СЕ, ОЕ равные углы, то прямая АВ перпендикулярна плоскости СОЕ. Докажите.
133. Верно ли, что, если М. центр правильного многоугольника А\АчА^... Ап, то МА\ + МАг + МАз ++ МАп == = О?
134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данного правильного многоугольника.
135. Точка М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см. Найдите длину вектора МА + МВ + МС 4- МО + МА ] + + МВ1 + МС\ + М0\. ___
136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ +
+ МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^
Ре центры граней куба.
137. Через центр масс Т треугольника АВС проведена. прямая, на ней отмечены такие точки А\, В\, С\, что аа[ || II ВВ) || СС\. Докажите, что: а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0;
б) ТА^ + ТВ, + ТС\ == 0.
138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно определить, как совокупность точек М, удовлетворяющих условию АМ = р АВ, где оо<:р<:оо. Какое число р соответствует точке А? Какое число р соответствует точке В? Возможно ли, исходя из векторного задания, получить координатное задание прямой?
139. Докажите, что плоскость, заданную точками А, В, С можно определить как совокупность точек М, удовлетворяющих условию АМ == р АВ + 0. АС, где оо < р < оо, оо <: $ <: оо.
Преобразование фигур в пространстве
140. Точки А и В находятся по одну сторону плоскости 6, на которую спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наименьшей возможной суммой расстояний от А и В.
141. Точки М и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от М и N.
142. Точки Л и В находятся по разные стороны плоскости 6, на которую они спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек А и В.
143. АВСВА\В1С\В\куб. Точка М находится на грани СВВ\С\, а точка N на луче А\ А вне куба. Найдите на плоскости АВС точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек М и N.
144. О центр грани ВСС\В1 куба АВСВА1В\С\В\. Найдите на плоскости АВС все точки, равноудаленные от точек О и А\.
145. Даны точки А(6; О; О), 5(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с серединой С и концами на прямой АВ и на плоскости хг.
146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10; 3). В результате параллельного переноса вершина наибольшего угла переместилась в центр описанной окружности. Найдите новые координаты вершин треугольника.
147. Выполните параллельный перенос куба АВСВА\В\С\В\, чтобы его вершина А переместилась в центр грани АВСВ.
148. Выполните параллельный перенос куба авсва\в{с\в\, чтобы центр грани АВВ\А\ переместился на середину отрезка АВ.
149. Известно положение вершин А(1; 3; 4), В(3; 1; 1), С(4; 0; 2) параллелограмма АВСВ. Построена фигура, симметричная параллелограмму относительно начала координат. Определите, в какую точку переместилась точка В.
Углы между прямыми
150. Найдите величины углов между диагоналями куба.
151. Дан куб АВСВА\В\С\В\. Постройте прямую, которая образует углы по 60 с прямыми ВС и А \В\.
152. М середина ребра СС\ куба АВСВА\В\С\В\. Найдите угол между А\М и прямой, которая проходит через точку В и середину отрезка А\М