Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ощади четырехугольника АВЕС.
79. На двух параллельных прямых отложены равные отрезки АВ и СВ, затем построены 4 параллелограмма (рис. 42).
Докажите, что сумма площадей двух первых параллелограммов равна сумме площадей двух других.
80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогично задаче 79. Докажите, что 8\ + 82 + 8з = 6ч + 85 + 8е.
81. Найдите площадь параллелограмма, у которого острый угол та, а расстояния от центра параллелограмма до сторон равны т и ге.
82. Найдите площадь параллелограмма, у которого периметр Р = 65 см, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 4 и 6 см.
83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имеющего такой же периметр, как ромб. Найдите углы ромба.
84. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 8. Из точки М на ВС проведены прямые, параллельные АВ и АС. Какую наибольшую площадь может иметь площадь полученного параллелограмма?
Площадь треугольника
85. Докажите, что в каждом треугольнике аЪ + ас + &с > 6 8.
86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).
87. Докажите, что в каждом треугольнике
аЬ + Ь2).
88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь, Нс: (а + Ь + с)
+ь+
89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15. Найдите площадь треугольника.
90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части больше половины площади каждого прямоугольника.
91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу сумм длин противоположных сторон.
92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку М, чтобы произведение МА МВ МС МВ имело наибольшую возможную величину.
93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов.
94. Площадь четырехугольника <?, длины его сторон а, Ь, с, <1, внешние углы ос., (3, у, 6 (рис. 44). Найдите (аЬ зш та + + Ьс аш р + сд. вш -у + а<1 зш 6) : О.
95. У выпуклого четырехугольника АВСВ стороны АВ и СВ равны и лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Докажите, что его площадь в 4 раза меньше разности квадратов сторон АТ) и ВС.
96. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника в 8 раз больше площади треугольника. Найдите градусные меры острых углов треугольника.
97. АВСВ параллелограмм, М середина АВ, К середина ВС; АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольника АОВ и параллелограмма АВСВ.
98. Две высоты треугольника делят его на две пары равновеликих частей. Найдите величины углов треугольника.
99. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Докажите, что эти стороны лежат против острых углов.
100. Площадь остроугольного треугольника равна О. Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие стороны. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 45).
101. Существует ли равнобокая трапеция, которая делится своей диагональю на части с отношением периметров 1 : 2 и отношением площадей 1 : З?
102. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у которого наибольшая медиана имеет длину т и образует с большим катетом угол в 15.
103. Из точки М, находящейся внутри равностороннего треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Зная, что длины перпендикуляров 1, 4 и 7 см, найдите площади полученных четырехугольников.
104. Высота АВ и медиана АЕ == т треугольника АВС образуют со стороной АВ углы по <х. Найдите площадь треугольника АВС (рис. 46).
105. Длины сторон треугольника 30, 30, 36 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
106. Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение радиуса вписанной окружности на радиус описанной
окружности больше -д- площади треугольника.
107. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части а и Ъ. Докажите, что площадь треугольника 8 == аЬ.
108. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражены последовательными целыми числами. Найдите длины его сторон, зная, что радиус вписанной окружности 4 см.
109. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражаются последовательными натуральными числами. Найдите эти стороны, зная, что площадь треугольника равна 1170см2.
110. Три прямые параллельны. Средняя из них удалена от двух других на 4 и 7 см. Найдите площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на этих трех прямых.
Площадь трапеции
111. Треугольник разделен на три трапеции, общей вершиной которых является центр масс треугольника. Сравните площади названных трапеций.
112. Площадь квадрата, построенного на диагонали равнобокой трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Найдите угол между диагоналями трапеции.
113. Сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях трапеции, в 4 раза больше площади трапеции. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.
114. Основания трапеции ВС и АВ, диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников АВО и ВСО равны 50 и 20 см2. Найдите площадь трапеции.
115. Угол между диагоналями равнобокой трапеции равен 60 (два случая). Как разрезать эту трапеци