Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?ронний треугольник, у которого середина основания данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.
244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а центр на данной прямой, пересекающей эти окружности.
245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а четвертая на данной прямой.
246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ == 90, МА МВ == а. Найдите расстояние от точки М до центра квадрата.
247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М, что /- АМВ = 120, МА МВ = а. Найдите расстояние от точки М до центра описанной около треугольника окружности.
248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выполнить такой поворот около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как определить центр и угол поворота?
249. Каждый угол треугольника менее 120. Найдите точку с наименьшей возможной суммой расстояний от вершин
треугольника.
250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины прямого угла треугольника.
Параллельный перенос
251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой СВ. Найдите на СВ такие точки Е и Р, чтобы АЕ = ВР и длина отрезка ЕР равнялась а.
252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон, длинам диагоналей и углу между диагоналями.
253. Даны лучи МА, МВ, МС. Постройте прямую, которая пересекает их в таких точках А\, В\, С\, что А\В\ == В\С\ = а.
254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстояниям между противоположными сторонами.
255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности углов при одной из сторон.
256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с концами на двух данных окружностях.
257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы которого лежат на прямой 1ч и на данной окружности.
258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до В и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е.
259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки длиной а и I.
Равенство фигур
260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма равны двум высотам и углу между ними другого параллелограмма. Равны ли эти параллелограммы?
261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответственно равны сторонам другой?
262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.
263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем основании одной трапеции равны основаниям и углам при большем основании другой.
264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.
265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Через О проходят две прямые, образующие угол в 60. Докажите, что отрезки прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.
266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми симметриями с параллельными осями.
267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы эти треугольники совместились?
268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили отрезками, которые пересеклись в точке О. Затем построили параллелограмм ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР \\ ВС и ВР \\ АВ (рис. 36). Докажите, что четырехугольник АВСВ и параллелограмм составлены из соответственно равных четырехугольников ах при положи
-
ДЕВЯТЫЙ КЛАСС
Гомотетия
1. Докажите, что фигуры у = х2 и у тельном а ^= 1 гомотетичны.
2. Гомотетичны ли фигуры у = ж3 и у = 4х3? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.
3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые:
а) ах + Ьу с = О и ах + Ьу + с = 0; б) 2-е Зг/ 5 == О и Зх 2у 5 = О?
4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.
5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б) биссектрисам углов треугольника АВС.
6. Докажите, что середины всех отрезков, которые параллельны стороне АВ треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане СР.
7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пределами данной части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением длины всех сторон треугольника (рис. 37).
8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений).
9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника АВС и пересекающую АВ и АС в таких точках В и Е, что АВ = ЕС.
10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются в данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях.
11. Постройте окружность, которая касает