Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
прямой
168. Три стороны ромба лежат на прямых х == О, у == х, у == == х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?
169. Найдите периметр треугольника, стороны которого
лежат на оси абсцисс и на прямых у == ж и у == :с+ 15.
170. Равные отрезки АВ и С^ лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых 1\ и 1ч. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1\ и 1ч.
171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая уравнение Зх 4у + 24 == О?
172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника с вершинами А (3; 5), В (1; 3), С (7; 9).
173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5.т 9у 1 == 0 и Зх -{^у 10 = 0.
174. Докажите, что прямые ах + 2у 6 == 0 и Ьх у + +5=0 пересекаются, если а + 2& ф 0.
175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; 1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ взаимно перпендикулярны.
Пересечение прямой с окружностью
176. Даны окружности х2 + у2 = 25 и {х 2)2 + (г/ б)2 = == 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.
177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пересечения прямых Зж 4г/ 1 == 0 и 4.х + Зг/ 18 == 0. В каких точках эта окружность пересекает названные прямые?
178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В каких точках она пересекает ось ординат?
179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; 2). В каких точках окружность (х 5)2 + + (у 2)2 = 25 пересекает стороны прямоугольника?
180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж2 + у2 = 49? В каких точках эта фигура пересекает оси координат?
Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла
181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш х + + 3 соз х, Ь == 3 зш х 2 соз ж.
182.Известно, что ат х
с
183.Зная, что 1-е х == -I
вш3 х + 4 вщ х соа2 х
сое х = . Найдите Ъ х.
-, вычислите: а)
2 вш х + 7 сое х
6 эш ж + соз .г ^
3 вш х соа х + 2 сов3 х
184. Постройте график функции: у = -\/8Ш4 х + 4 соа2 х + + -\/ соа4 х + 4 зт2 х.
185. Найдите зависимость между р у. ^, если р == вт х + соз х, ^ == 8№3 х + сов3 х.
186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см. Найдите тригонометрические функции наименьшего угла этого треугольника.
187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из острых углов этого треугольника.
Тригонометрические функции некоторых острых углов
188. При каких целых а, Ь, с справедливы следующие равенства:
а) а 8Ш 60 + Ь2 соз2 45 + с -Ье 30 = 5 уз 1;
б о вш3 30 + Ь соз2 60 + с 1;ё 45 = -^;
в) а 8т3 45 + Ъ соз 30 + с 1ё 60 = 2 -^2?
189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства:
а зш ^--+сое ^ ^Г^
^ _1_ ь 4- с = 4? б) МП 30" соэ 30 ^ 60
. 18(Г , 120 , . 90 о -л- ^"а4- \,&=2;
Изменение тригонометрических функций острого угла
190. Докажите, что для любого острого угла х при увеличении натурального числа п величина у == соз" х уменьшается.
191. Сравните по величине: зш 58 соз 48 ^@ 38 и зш42 соа 32 1@ 22.
192. Запишите в порядке возрастания: вш760, соа 58, гё48,8т380.
193. Запишите в порядке убывания: соз2 10, сое 30, ^45, 148, 1ё50.
Решение прямоугольных треугольников
194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением: г == г + -тт. и о о
195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка вычислением координат (рис. 33).
196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка вычислением координат (рис. 34).
197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка изображены на рисунке 35. Проверьте качество работы вычислением координат.
Неравенство треугольника
(198. Докажите, что если точка М находится внутри треугольника АВС, то каждый из отрезков МА, МВ, МС меньше хоть одной из сторон треугольника.
199. Докажите, что если две хорды окружности пересекаются под прямым углом, то сумма этих хорд больше диаметра.
200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не меньше шестой части периметра?
201.| Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежавшая против тупого угла, наибольшая.
202.) Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин параллелограмма меньше его периметра.
203 Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из вершины четвертого угла, больше другой диагонали.
204.Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше
его периметра.
205. Длины сторон треугольника а, Ь, с, длины его медиан Ото, ть, те. Докажите, что можно построить треугольник со сторонами длиной а + тпа, Ь -{- ть, с + т.е.
206. )р окружность вписан равносторонний треугольник АВС..Диаметр АВ пересекает ВС в точке Е, а хорда АК в точке М. Докажите, что ЕВ > КМ.
207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены. Найдите ?/p>