Задачи Лоповок
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
¶ат на одной прямой. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.
135. АВСВ параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Докажите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.
Умножение вектора на число
136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.
137. АВСВ четырехугольник, у которого сумма расстояний между серединами противолежащих сторон равна ^половине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ параллелограмм.
138. Докажите, что, если М точка пересечения медиан
треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.
139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").
о
140. Точка С лежит между А и В, причем АС.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:
ТС = "- ТА + "ТВ.
т + п т + п
141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ . С\В = = ВА\ . А\С == СВ\ . В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треугольника Д^С! совпадают.
142. АВСВ и А\В\С\В\ параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?
Косинус угла
143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-
2аЬ рыи угол, косинус которого равен з . ^
144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 существует острый угол, косинус которого равен "
2я2 2п + 3
Теорема Пифагора
+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2 == 2о2, то существует прямо-
„ & Ч- с Ь с угольный треугольник, длины сторон которого а, -, „
& ^
147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-
, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2
тами а, Ь и гипотенузой с: а) ^ аг + -тт-г ^ т-!
А (I -{- С О -\- С О
2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _<, в3 | Ь3 , 5
Й\ " ^- " 1 и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "
б) Т ^ Т^ТТ- -г- ^ч~7 < - В; ^Т^ + ^Т^ < I
148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.
149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехугольника АВСВ равна 90. Докажите, что ВС2 + АВ2 == АС2 + ВВ2. ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипотенузы.
151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-
угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух
других медиан.
152.- Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.
153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр.
154. Катет АВ == а лежит против угла в 15. Найдите
длину, второго катета.
155. Катет АВ == а лежит против угла в 22 30. Найдите длину второго катета.
- 156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.
- 157. Отрезок АВ == 12 см служит диаметром окружности с центром О. На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.
158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВСD отрезки АВ и АD видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см, АD == 89 см, определите, на какие части точка М делит сторону ВС.
159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр трапеции.
160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2.
161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Определите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.
162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30. Расстояние между пунктами 300 м, один находится строго к югу от В, другой строго на восток от А. Определите длину стены.
163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная.
Расстояние между двумя точками
164. Докажите, что каждая точка графика у = ж2 + 025 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).
165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА == 7, МВ = 13, МС == 17. Определите длину стороны и диагонали квадрата.
166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника, наименьшая возможная.
167. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК, по другую равносторонний треугольник АСМ. Докажите, что центры окружностей, описанных около этих треугольников, являются вершинами равностороннего треугольника.
Уравнение