Дослідження розвитку теорії ймовірності
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
nbsp;
.
Але відповідно до формули сума, що коштує в правій частині цієї нерівності є не що інше, як імовірність влучення випадкової крапки зовні відрізка , отже , звідки безпосередньо випливає доказувана нерівність.
2. У випадку коли величина безперервна, доказ проводиться аналогічним образом із заміною ймовірностей елементом імовірності, а кінцевих сум інтегралами. Дійсно,
,
де щільність розподілу величини . Далі, маємо:
,
звідки й випливає нерівність Чебишева для безперервних величин.
Що й було потрібно довести.
Як наслідок зі своєї нерівності Чебишев одержує наступну теорему.
Теорема.
Якщо математичні очікування величин не перевершують якої-небудь кінцевої межі, то ймовірність, що середнє арифметичне N таких величин від середніх арифметичних їхніх математичних очікувань відрізняється менш чим на яку-небудь дану величину, зі зростанням числа N до , приводиться до одиниці.
Доказ.
Дійсно, розглянемо випадкову величину , що представляє собою середню арифметичну з даних випадкових величин.
; ;
.
Якщо обмежені математичні очікування випадкових величин і їхніх квадратів, то обмежені також і дисперсії, тобто Всі , де c-деяке число. Тоді
.
Застосуємо тепер нерівність Чебишева до :
, або
.
Переходячи до межі, одержуємо:
.
Що й було потрібно довести.
Це і є теорема Чебишева закон більших чисел Чебишева. Ця теорема встановлює, що при досить більших n з імовірністю, близької до одиниці, можна думати, що середнє арифметичне випадкових величин як завгодно мало коливається біля деякого постійного числа-середніх їхніх математичних очікувань.
Теореми Пуассона й Бернуллі є окремими випадками закону більших чисел Чебишева.
Дійсно, нехай в n випробуваннях, подія A наступає з ймовірностями й не наступає з ймовірностями . Розглянемо випадкову величину число настань події A в i-ом випробуванні. Тоді
; ; ,
задовольняє умовам теореми Чебишева, тобто
, або
,
де -середнє арифметичне з ймовірностей настань подій в окремих випробуваннях. А це і є теорема Пуассона.
Якщо всі , те й , і ми одержимо теорему Бернуллі:
.
Цікаво, що Чебишев не називав доведену теорему законом більших чисел, хоча теорема Пуассона виходить із її як окремий випадок.
Знаючи, що теорема Бернуллі є часткою случаємо теореми Чебишева спробуємо довести її як прямий наслідок закону більших чисел Чебишева (тобто приведемо сучасний доказ теореми Бернуллі [3]). Повторимо сучасне формулювання теореми Бернуллі.
Теорема.
Нехай виробляється n незалежних досвідів. Якщо ймовірність настання події A у послідовності незалежних випробувань постійна й дорівнює p, те, яке б не було позитивне число , з імовірністю як завгодно близької до одиниці, можна затверджувати, що при досить великій кількості випробувань n різниця по абсолютній величині виявиться меншої, чим :
,
де -будь-яке мале число.
Доказ.
Розглянемо незалежні випадкові величини:
-число появ події A у першому досвіді;
-число появ події A у другому досвіді, і т.д.
Всі ці величини переривані й мають той самий закон розподілу, що виражається поруч виду:
01qp
так як подія A наступає з імовірністю p і не наступає з імовірністю q . Обчислимо математичне очікування кожної з величин :
,
дисперсію:
.
задовольняють умовам теореми Чебишева, тобто можемо застосувати нерівність Чебишева:
.
Так як , , а ,
то одержуємо вираження:
.
Звідси й треба справедливість доказуваної нерівності:
,
де -мале число при .
Чте й було потрібно довести.
3.4 Закон більших чисел для залежних випадкових величин
А.А. Марков під цим законом розумів закон, у силу якого з імовірністю, як завгодно близької до вірогідності, можна затверджувати, що середнє арифметичне з декількох величин, при досить великій кількості цих величин, буде довільно мало відрізнятися від середніх арифметичних їхніх математичних очікувань. При такому розумінні закону більших чисел і теорема Бернуллі й теорема Пуассона й теорема Чебишева будуть його різними формами. Таке розуміння тепер загальноприйняте.
Чебишев поширив закон більших чисел на незалежні випадкові величини з рівномірно обмеженими дисперсіями: .
Марков розширив умови застосовності цього закону. У роботі Поширення закону більших чисел на величини, що залежать друг від друга Марков привів наступну теорему [1,6].
Теорема.
Якщо послідовність взаємно незалежних випадкових величин така, що
, те
.
Доказ.
Розглянемо величину
, .
Очевидно, що й величина обмежена <c, c-деяке число. Застосуємо тепер нерівність Чебишева до :
, або
.
Переходячи до межі одержуємо:
.
Що й було потрібно довести.
У цій роботі Марков доводить, що закон більших чисел застосуємо до , якщо й звязок величин така, що збільшення кожної з них спричиняє зменшення математичних очікувань інших.
Марков зауважує: до того ж висновку про застосовність закону більших чисел не важко прийти й у випадку, коли математичне