Дослідження розвитку теорії ймовірності
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
очікування при всякому зменшується зі збільшенням суми .
Марков розглядає послідовність випадкових величин, звязаних у ланцюг. Такі ланцюги залежних величин одержали назву марковських ланцюгів. У цій роботі Марков розглядає простий ланцюг (простий ланцюг маркова послідовність випадкових величин, кожна з яких може приймати будь-яке число рішень, причому ймовірності рішень при -м випробуванні одержують певні значення, якщо відомо тільки результат -го випробування), причому всі приймають значення тільки 0 або 1. Він установлює, що ці випадкові величини також підлеглі закону більших чисел. Потрібно відзначити, що в роботі Марков вимагав, щоб для всіх ймовірностей переходу виконувалася умова . Але висновки Маркова залишаються справедливими, якщо замість такого сильного обмеження вимагати тільки, щоб ця умова виконувалася хоча б для однієї ймовірності при кожному .
Наприкінці своєї роботи Марков робить висновок, що незалежність величин не становить необхідної умови для існування закону більших чисел.
У цей час використовується умову, аналогічна умові Маркова, але вже не тільки достатнє, але й необхідне для застосовності закону більших чисел до послідовності довільних випадкових величин [4].
Теорема.
Для того щоб для послідовності (як завгодно залежних) випадкових величин при будь-якому позитивному виконувалося співвідношення
, (3.4.1)
Необхідно й досить, щоб при
. (3.4.2)
Доказ.
Припустимо спочатку, що (2) виконано, і покажемо, що в цьому випадку виконано також (1). Позначимо через функцію розподілу величини
.
Легко перевірити наступний ланцюжок співвідношень:
Ця нерівність доводить достатність умови теореми.
Покажемо тепер, що умова (2) необхідно. Легко бачити, що
Таким чином,
.
Вибираючи спочатку як завгодно малим, а потім досить більшим, ми можемо зробити праву частину останньої нерівності як завгодно малої.
Що й було потрібно довести.
3.5 Посилення закону більших чисел. Поява необхідної й достатньої умов застосовності закону більших чисел
В 1923 р. А.Я. Хинчин установив закон повторного логарифма, що є своєрідним узагальненням і посиленням закону більших чисел[1]. Розглянемо отримані їм результати.
Відповідно до теореми Бернуллі, при для будь-якого
В 1909 р. Борель для довів, що , тобто що для більших із гнітючою ймовірністю повинна бути мала в порівнянні з , .
В 1917 р. Кантеллі поширив результат Бореля на кожне .
В 1913 р. Хаусдорф для випадку Бернуллі знайшов наступну оцінку: з імовірністю одиниця , де довільно.
В 1914 р. Харди й Литтльвуд показали, що з імовірністю одиниця .
А в 1923 р. Хинчин довів наступну теорему.
Теорема.
Якщо ймовірність появи події A у кожному з незалежних випробувань дорівнює , то число появ події A у випробуваннях при задовольняє співвідношенню:
.
Функція в цьому змісті є точною верхньою границею випадкової величини .
Представимо цей результат геометрично. Будемо по осі абсцис відкладати , а по осі ординат . Проведемо в цій системі прямі: і . Теорема Бореля-Кантеллі затверджує, що при досить більших майже вірогідно, що буде полягати між прямими й . Але ці границі виявилися дуже широкі й Хинчин указав більше строгі границі зміни . Якщо ми проведемо криві
і (3.5.1)
, (3.5.1)
те по теоремі Хинчина, яке б не було , для досить більших різниця майже вірогідно укладена між цими кривими. Якщо ж взяти криві
і (3.5.2) , (3.5.2)
те майже вірогідно нескінченно багато разів вийде за межі цих кривих. Зобразимо схематично цю ситуацію.
Хоча Марков і розширив границі застосовності закону більших чисел, однак, остаточно це питання ще не було вирішено. Установити необхідні й достатні умови застосовності закону більших чисел удалося тільки завдяки застосуванню методів і понять теорії функцій.
В 1926 р. А.Н. Колмогоров установив ці умови у своїй роботі [5].
Визначення.
Випадкові величини послідовності називаються стійкими, якщо існує така числова послідовність , що для будь-якого позитивного , .
Якщо існують всі і якщо можна покласти, то говорять, що стійкість нормальна.
Якщо все рівно мірно обмежені, то з , , треба співвідношення , , і, отже, , .
Таким чином, стійкість обмеженої послідовності необхідно нормальна. Нехай .
По нерівності Чебишева .
Отже, умова Маркова: , , досить для нормальної стійкості.
Якщо рівномірно обмежені, , то по нерівності ,
.
Отже, у цьому випадку умова Маркова є також і необхідним для нормальної стійкості .
Якщо й величини попарно не корельоване, то .
Отже, у цьому випадку для нормальної стійкості середніх арифметичних , тобто для того, щоб для всякого
,
Досить виконання наступної умови: (теорема Чебишева). Зокрема, ця умова виконана, якщо всі величини рівномірно обмежені.
1. Можна узагальнити цю теорему на випадок слабко корельованих величин .
Якщо припустити, що коефіцієнт кореляції (ясно, що завжди ) між і задовольняє нерівності й що , то для нормальної стійкості середніх арифметичних, тобто для того, щоб для всякого
,
досить виконання умови , де .
2. У випадку незалежних доданків можна дати також необхідна й достатня умова для стійкості середніх арифмети