Дослідження розвитку теорії ймовірності
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
сті, ми не можемо обчислити межу, , що прийнята за ймовірність.
Найбільші представники теорії ймовірностей ніколи не були прихильниками частотної школи, а прихильники цієї школи не одержали істотних результатів у теорії ймовірностей.
Спроб обґрунтувати теорію ймовірностей було досить багато. Наприклад, італійський математик Б. Финетті висунув субєктивне тлумачення ймовірності. Таким підходом до ймовірності він намагався перебороти протиріччя, які виникли й у класичній теорії ймовірностей і в частотній школі Мизеса. По Финетті ймовірність є чисто субєктивною величиною. Кожна людина по-своєму оцінює ймовірність тієї або іншої події.
Трохи пізніше Джеффрис розробляв поняття ймовірності як ступеня правдоподібності. Уперше ця концепція була висунута Кейнесом в 1921 р. По цій теорії кожна пропозиція має певну ймовірність. Ймовірностям такого роду не можна дати частотної інтерпретації. Розробка теорії ступенів правдоподібності триває деякими математиками й у наші дні.
1.4 Поява аксіоматичного визначення поняття ймовірності
На сьогоднішній день закріпилося визначення поняття ймовірності дане А.Н. Колмогоровим у книзі Основні поняття теорії ймовірностей (1933 р.) аксіоматично.
Уже були розкриті глибокі аналогії між поняттями теорії ймовірностей і поняттями метричної теорії функцій. Були встановлені аналогії між множиною й подією, мірою множини й імовірністю події, інтегралом і математичним очікуванням і ін.
Виникла потреба в теорії ймовірностей виходячи з уявлень, що й було виконано в книзі Колмогорова. Після цієї аксиоматизації теорія ймовірностей зайняла рівноправне місце серед інших математичних дисциплін.
Розглянемо аксіоматику Колмогорова.
Нехай є спостереження або випробування, які хоча б теоретично допускають можливість необмеженого повторення. Кожне окреме випробування може мати той або інший результат залежно від випадку. Сукупність всіх цих можливих рішень утворить множина E, що є першим основним поняттям аксіоматики. Це множина E називається множиною елементарних подій. Що із себе представляють події, що є елементами цієї множини, для подальшої логічної побудови зовсім байдуже, як байдуже для аксіоматичної побудови геометрії, що ми будемо розуміти під словами крапка, пряма і т.п. Тільки після такої аксіоматичної побудови теорія ймовірностей допускає різні інтерпретації, у тому числі й не звязані з випадковими подіями. Будь-яка підмножина множини E, тобто будь-яку сукупність можливих рішень, називають подією. Або іншими словами: випадковими подіями називаються елементи множини F підмножин з E. Далі розглядаються не всі події, а тільки деяке тіло подій. Теорія ймовірностей займається тільки тими подіями, частота яких стійка. Це положення в аксіоматичній теорії Колмогорова формалізується таким чином, що кожній події, що ми розглядаємо, ставиться у відповідність деяке позитивне число, що називається ймовірністю даної події. При цьому абстрагуються від усього того, що допомагало сформулювати це поняття, наприклад, від частоти. Це дає можливість інтерпретувати ймовірність не тільки імовірнісним способом. Тим самим значно розширюються можливості ймовірностей.
Сформулюємо аксіоми Колмогорова [1,5]. Якщо випадкові події A і B входять до складу F, то події A або B, A і B, не A і не B також утримуються в F. F містить як елементи множина E і всі окремі його елементи.
Кожному елементу A з F поставлено у відповідність ненегативне речовинне число P(A), називане ймовірністю події A.
P(E)=1.
Якщо A і B не перетинаються й належать F, то P (A+B)=P(A)+P(B). Для нескінченних множин F є ще одна аксіома, що для кінцевих множин є наслідком пяти наведених аксіом.
Якщо перетинання послідовності подій порожньо, то .
Аксіоматика Колмогорова сприяла тому, що теорія ймовірностей остаточно зміцнилася як повноправна математична дисципліна.
Простеживши динаміку розвитку й формування поняття ймовірності можна зробити висновок, що воно вироблялося складними шляхами. Математики й філософи, політики й просто захоплені теорією ймовірностей учені намагалися наділити поняття ймовірності в конкретну форму. Даючи правильні й помилкові визначення поняттю ймовірності, вони маленькими кроками просувалися до вірного рішення цього питання. Але навіть у добре й правильно сформульованих варіантах класичного визначення ймовірності можна виявити пробіли й недогляди. Наприклад, майже у всіх даних варіантах класичного визначення відсутнє умова кінцівки числа рівно можливих подій, тобто умова, що . Можливо ця умова не обмовлялася, але малося на увазі. З побудовою системи аксіом для визначення поняття ймовірності задача деякої неспроможності класичного визначення ймовірності була вирішена. Однак спостерігаються спроби дати трактування ймовірності з більше широких позицій, у тому числі й з позицій теорії інформації.
2. Динаміка розвитку поняття математичного очікування
2.1 Передумови введення поняття математичного очікування
Одним з перших наблизився до визначення поняття математичного очікування Д. Кардано у своїй роботі Книга про гру в кості. Він визначив умови необразливої гри, які можна побачити на наступному прикладі Кардано: кидаються дві гральні кістки. Якщо, стало бути, хто-небудь заявить, що він бажав би ?/p>