Дослідження розвитку теорії ймовірності
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
чних .
Для кожного існує константа (медіана ), що задовольняє наступним умовам: , .
Покладемо
Теорема.
Нехай послідовність взаємно незалежних випадкових величин. Тоді умови
= , ,
,
необхідні й достатні для стійкості величин , При цьому постійні , , можна прийняти рівними , так що у випадку (і тільки в цьому випадку) стійкість нормальна.
Доказ.
Достатність умов теореми встановлюється просто. Справді оскільки а відповідно до нерівності Чебишева
те
Для доказу необхідності нам знадобиться ряд допоміжних пропозицій.
Лема 1.
Нехай незалежні події, , і для якогось . Якщо, крім того, подія таке, що для кожного , то тоді .
Доказ.
Якщо існує такий номер , що , то .
Нехай тепер для всіх .
Тоді найдеться таке , що , і, виходить, для всіх
,
,
.
Звідси
.
Що й було потрібно довести.
Лема 2.
Нехай незалежні, обмежені, , , випадкові величини з нульовими середніми. Тоді для всякого й цілого
, де .
Доказ.
Нехай , , , ,
. Зауважуючи, що на множині , одержуємо
З нерівності треба, що
.
Тому при кожному . Значить і .
Що й було потрібно довести.
Лема 3.
Нехай незалежні, обмежені випадкові величини, причому , . Тоді
.
Доказ.
Позначимо , . Якщо або , то права частина в доказуваній нерівності негативна й нерівність очевидно.
Нехай тепер одночасно , . Тоді досить показати, що , оскільки, мабуть,
.
Позначимо . Якщо , то
і, виходить,
Припустимо, тепер, що .
Позначаючи й застосовуючи лему 2, знаходимо
Звідси
На множині .
Тому .
Ясно також, що .
Отже,
і, виходить, .
Що й було потрібно довести.
Доказ теореми. Необхідність.
Нехай послідовність , така, що для будь-якого , . Покажемо, що тоді
, .
Позначимо для даного
, ,
.
Оскільки медіана , те .
Для досить більших , тому
, тобто .
Далі, якщо подія виконується, а ні, те виконується подія й, виходить, .
Але .
Отже, .
Застосуємо лему 1, взявши
. Тоді .
Події незалежні, тому .
Оскільки за умовою , , те з і одержуємо шукане співвідношення .
Покладемо тепер
Із треба, що якщо , , те й
, .
Позначимо . Тоді й по лемі 3
звідки .
Для .
Тоді з , і
треба, що
,
а значить у силу довільності
.
Що й було потрібно довести.
3. Подальше узагальнення теореми Чебишева виходить, якщо припустити, що яким-небудь образом залежать від рішень яких-небудь випробувань , так що після кожного певного результату всіх цих випробувань приймає певне значення. Загальна ідея віх теорем, відомих за назвою закону більших чисел, полягає в тому, що якщо залежність величини від кожного окремого випробування , , дуже мала при більших , то величини стійкі. Якщо розглядати як розумну міру залежності величини від випробування , то вищезгадана загальна ідея закону більших чисел може бути конкретизована наступними міркуваннями.
Нехай .
Тоді ,
,
.
Легко, далі, підрахувати, що випадкові величини , , не корильоване. Справді, нехай , тоді, знаючи, що , можна записати наступне:
і, отже, , .
Отже, .
Таким чином, умова , досить для нормальної стійкості величин .
Таким чином, була завершена одна із центральних проблем теорії ймовірностей - проблема закону більших чисел.
Висновок
Ми простежили динаміку розвитку поняття ймовірності; такого поняття в теорії ймовірностей, як математичне очікування, а також розвиток однієї із центральних теорем-закону більших чисел. Можемо зробити наступні висновки.
Простеживши динаміку розвитку й формування поняття ймовірності можна відзначити, що воно вироблялося складними шляхами. Поняття ймовірності наділялося у визначення різних форм і змістів.
Спочатку це поняття розуміли на чисто інтуїтивному рівні. Пізніше зявилися різні визначення поняття ймовірності. Спостерігалися спроби вводити нові поняття, наприклад властиво ймовірність, але ці спроби не увінчалися успіхом це поняття не збереглося в науці. Надалі виникає необхідність у більше чіткому й строгому відношенні до основних понять теорії ймовірностей, тобто й до визначення поняття ймовірності. Цього вимагало розвиток статистичної фізики; цього вимагало розвиток самої теорії ймовірностей, у якій гостро стала відчуватися незадоволеність класичного обґрунтування лапласовського типу; цього вимагало й розвиток інших наук, у яких широко застосовувалися імовірнісні поняття. Ставало всі видно, що теорія ймовірностей має потребу в новому логічному обґрунтуванні в обґрунтуванні за допомогою аксіоматичного методу. Багато вчених уживають спроби аксіоматичного визначення поняття ймовірності. Однак успішно ця задача була вирішена на початку XX в. Колмогоровим. Аксіоматика Колмогорова сприяла тому, що теорія ймовірностей остаточно зміцнилася як повноправна математична дисципліна.
Розвиток поняття математичного очікування також зустрічало ряд труднощів. Спроби ввести поняття мора