Содержательный исследование массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
пределяет введенные раньше аксиомы.
Аксиома 12: Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Эта аксиома эквивалентна аксиоме 11
Следующим шагом введения аксиом у А. В. Погорелова является введение основных свойств расположения точек на прямой и на плоскости.
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Эта аксиома является аксиомой порядка 21 ;
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;
Каждый отрезок имеет определенную длинны, большую нуля. Длинна отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой;
32 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера угла, равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. [24]
Свойства откладывания отрезков и углов
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один;
. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180, и только один;
. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полу прямой. [24 с 10].
Свойство параллельных прямых.
5Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной [24 c 13].
Свойства 32 и 42 не являются аксиомами, это технические правила вводящие, способ измерения углов.
Аксиомы о построении углов и отрезков являются следствиями аксиом движения.
Аксиомы стереометрии
С1 Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей;
C2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой;
C3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну [24 c 181].
Введя три аксиомы стереометрии, А. В. Погорелов предлагает уточнить аксиомы планиметрии для бесконечного числа плоскостей. При таком уточнении аксиомы принимают вид:
Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
42. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей , и только один.
каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не боле одной прямой, параллельной данной.[24 с 181]
После введения аксиом планиметрии, называя их основными свойствами, А. В. Погорелов проясняет понятия теоремы и доказательства. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предположение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой [24, с. 13].
Предлагается разобрать эти понятия на примере теоремы: если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон [24 с 14]. Только после доказательства теоремы автор говорит, что утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово аксиома происходит от греческого слова аксиом и означает утверждение не вызывающее сомнений [24 c 14].
В следующем абзаце вводятся правила аксиоматического метода. А. В. Погорелов пишет при доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т.е. аксиомами, а также свойствами уже доказанными, т.е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя [24, с. 15].
К концу первой главы введены все основные аксиомы Евклидовой геометрии, описаны все теоретические понятия, которые используются в геометрии, и приведены соответствующие примеры.
А. В. Погорелов не говорит и не дает представления о возможности разных интерпретаций свойств в разных теориях. Введя аксиомы таким способом, А. В. Погорелов сразу говорит о свойствах фигур. Аксиома, заданная как свойство, уже не может быть интерпретирована в другой теории, уже невозможно провести соответствие с реальным миром.
А. В. Погорелов не дает возможность интерпретации аксиом как свойств простейших фигур, в следствии чего возникает убеждение, что аксиомы прямо соответствуют свойствам.
После сравнения аксиом, введенных А. В. Погореловым, с аксиомами евклидовой геометрии рассмотрим несколько примеров введения понятий.
Предварительно стоит уточнить, что одним из основных правил составления А. В. Погореловым учебника, является правило использование уже известных и доказанных ранее фактов. Листая учебник можно уточнить это правило. Используемые понятия должны быть введены недавно, рядом, лучше, если в этой же главе.
Рассмотрим примеры введения понятий в учебнике А. В. Погорелова с точки зрения аксиоматического подхода и нашего уточнения.
. Параграф 4 главы 1 Планиметрия называется Сумма углов треугольника. Первое, что мы видим в этой главе признаки параллельности прямых. У школьников и у студентов, критикующих учебник часто возникает вопрос: Причем здесь признаки параллельности прямых?.
В поисках ответа на эт