Содержательный исследование массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ключения, если только истинны исходные положения (аксиомы).
С помощью дедуктивного метода математики наглядно продемонстрировали возможности и силу человеческого разума в понимании и описании законов природы. Энтузиазм по поводу успехов математического метода в изучении природы в эпоху Просвещения привёл к тому, что логические требования и даже математические понятия и теоремы стали применяться ко многим областям человеческой деятельности.
Созданные в начале 19 века необычные геометрии и столь же не обычные алгебры вынудили математиков, крайне не охотно, осознать, что и сама математика и математические законы в других науках не есть абсолютные истины [14 с.32]. Так, К.-Ф. Гаусс поставил под сомнение то, что аксиомы евклидовой геометрии описывают физические свойства реального пространства, и поставил вопрос о том, как можно определить, какова его реальная геометрия. Было обнаружено, что в пределах точности измерений невозможно определить, какая из геометрий соответствует реальности.
Но эти геометрии противоречили одна другой, что, по представлениям того времени, означало, все они не могли быть одновременно истинными.
В то же время было обнаружено (Коши), что в математических доказательствах именно там, где математик не может опираться на интуитивно очевидные представления и, казалось бы, единственной гарантией истинности является строгость рассуждений (как, например, в исчислении бесконечно малых), математики используют нечёткие понятия вместо определений и расплывчатые аналогии вместо доказательств.
Опасность получить неверный результат привела к тому, что требования к точности и основательности математических рассуждений в течение XIX века стали значительно строже.
Во-первых, от аксиом перестали требовать интуитивной очевидности. Это требование было заменено логическими требованиями, о которых пойдёт речь в следующем параграфе.
Во-вторых, была поставлена задача преобразования содержательной математики, то есть системы накопленных моделей, рассуждений и методов решения задач, в дедуктивные системы - преобразования, подобного тому, которое проделал Евклид с суммой геометрических знаний, накопленных древними греками.
Иначе говоря, чистая математика превратилась в совокупность теорий, истинных внутри себя; вопрос о применимости математики к реальным задачам, основаниях использования тех или иных математических методов вообще был вынесен за пределы математики.
По словам Д. Гильберта, характеризующим этот этап развития математики, в евклидовой геометрии ничего не должно измениться, если мы заменим слова прямая и точка словами стул и стол.
В то же время математика была и остаётся содержательной наукой, необычайно эффективной (Г. Вейль) во многих областях практики - почему, собственно, она была и остаётся одним из основных предметов преподавания как в средней, так и в высшей школе.
1.2Особенности современного аксиоматического подхода
В настоящее время аксиоматический подход понимается как способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом [21 с 45].
Аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом применения аксиоматического метода вплоть до 19 в. была геометрическая система известная под названием Начала Евклида (ок. 300 до н.э.). Во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрической теории только дедуктивным путем из некоторого относительно небольшого числа утверждений - аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной [21].
В работах Евклида пятая аксиома о параллельности прямых была сформулирована как теорема: предположим, что есть прямая и точка , не лежащая на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А на прямую . Всякая прямая пересекающая этот перпендикуляр в точке под не прямым углом , пересекает прямую . Имея такую аксиому Евклид доказывает теорему, что если , то две прямые параллельны. Так как угол равный 90 единственный, то и прямая параллельная данной - одна.
После доказательства эквивалентности пятой аксиомы и теоремы о параллельности двух прямых, стали пользоваться формулировкой теоремы как аксиомой. Но, даже в такой формулировке математики не верили в незыблемость пятой аксиомы. Показав, что следствия, полученные из отрицания пятой аксиомы и всех теорем, выводимых на ее основе, не противоречивы, Лобачевский тем самым показал независимость пятой аксиомы.
Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяи явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный, и, казалось бы, единственный объективно истинный V постулат Евклида о параллельных прямых, его отрицанием, можно развить чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода и форма