Содержательный исследование массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
и превращении геометрии в точную дедуктивную науку. Первым открытием явилось то, что не все геометрические сущности одного и того же соизмеримы друг с другом (в современной терминологии тоже самое, что квадратный корень из 2 не есть рациональное число). Вторым открытием явились парадоксы школы Зенона, развивающие тему о невозможности построения конечной величины из бесконечно малых величин.
Результатами этого кризиса явились еще два блестящих достижения. Первое из них - теория пропорций, содержащаяся в 5-й и 10-й книгах Начал Евклида; второе - изобретенный Архимедом метод исчерпания, провозвестник современной теории интегрирования.
В 17 и 18 веках под впечатлением мощи новоизобретенного исчисления бесконечно малых большинство математиков применяли этот метод не задумываясь над тем, на сколько прочна его основа. Но в начале 19 века уяснение шаткости этой основы привело ко второму кризису оснований.
Стремясь преодолеть этот кризис, Коши в 30-х годах показал, как употребление бесконечно малых может быть заменено корректным использованием пределов [28 с.27], а Вейерштрасс (60 - 70 годы) продемонстрировал возможность полной арифметизации анализа и теории функций.
Пуанкаре в 1900 г. на Втором международном конгрессе сказал: Теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чиселтАж Математика тАж полностью арифметизированатАж Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная строгость [28, с 27].
Но, по иронии судьбы, в то самое время уже выяснилось, что бесконечные системы целых чисел - часть теории множеств - весьма далека от абсолютной надежности своих основ. Выяснилось неожиданное расхождение мнений и точек зрения по поводу основных математических понятий (начиная уже с понятия множества и числа). Этот факт вынуждает говорить о третьем кризисе основ, который математика переживает до сих пор [28, с 28].
Здесь же разобраны положительные и отрицательные стороны аксиоматического подхода к математике в целом и в учебнике геометрии А. В. Погорелова в частности.
Вторая глава посвящена критике учебника геометрии А. В. Погорелова.
Под критикой какого-либо содержания мы понимаем - выявление его границ, которое происходит за счет того, что анализируются все возможные следствия из данного содержания, такой определение критики было дано И. Кантом.
Критика производится по следующим основаниям
1.реализация аксиоматического подхода
2.полнота вводимой теории
.адекватность возрасту
.адекватность материала культурным задачам преподавания.
Третьей главе обсуждается образовательное значение критики в обучении педагогов - математиков. Выделено две ступени критики: первая ступень - не содержательная критика, личные переживания; вторая ступень - содержательная критика из занимаемых позиций. После анализа студенческих работ по критике учебника, выяснилось, что студентам удерживаться на 2-ой ступени не удается, т.к. у студентов отсутствует собственная позиция.
Мы предлагаем на второй ступени формулировать задания исходя из возможных позиций, уже в самой формулировке задания описывать позицию. Мы предполагаем, что такими позициями могут быть выделенные во второй главе основания критики.
В заключении описываются основные результаты нашей работы
1.Показано, каким образом учебник А. В. Погорелова реализует аксиоматический подход в построении математического знания.
2.Показано, что учебник А. В. Погорелова может претендовать на полноту и связность системы евклидовой геометрии, но при этом не соответствует ни возрастным особенностям школьников, ни культурной задаче преподавания геометрии.
.Показаны особенности решения студентами задачи критики учебника и предложены рекомендации к тому, как сделать эту работу более продуктивной по содержанию и полезной для студентов.
ГЛАВА 1. Аксиоматический подход в преподавании математики: основания и реализация
1.1Происхождение аксиоматического метода
С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служили неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.[14], [28]
Математические понятия широко использовались за пределами самой математики, они казались непреложными, как и принципы самой математики.
Древние греки (со времён открытия Пифагором математической природы музыкальной гармонии) считали, что вселенная существует на математических принципах. Математика внутри присуща природе; закон и порядок существует в природе и математика - ключ к пониманию этого порядка [14 с. 40]. Исходя из такого понимания, пифагорейцы сумели описать математическими законами (законами отношения величин и чисел) некоторые природные явления, такие, как движение планет и звёзд. Последнее стало возможным благодаря предположению, что планеты, двигаясь в пространстве, издают звуки.
Способ работы математиков, состоящий в выводе новых содержательных утверждений, применимых к разным объектам действительности, из нескольких представляющихся очевидными принципов был впоследствии оформлен в дедуктивный, или аксиоматический, метод. Природа дедуктивных выводов такова, что метод гарантирует истинность за