Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
? пользой на другие цели; в частности, на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера, на возбуждение и развитие у школьников интереса к такого рода деятельности, на формирование у школьников в процессе этой деятельности способностей к самостоятельному изучению математики, способностей к самообучению.
При реализации этой цели содержание задачи или ее соответствие определенному разделу теории отступает как бы на второй план. Основным становится формирование у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познания реальной действительности и т. д.
Именно этот аспект обучения математике отражен в следующем кратком перечне целей обучения через задачи:
) заинтересовать или мотивировать;
) приводить к открытию процессов или пониманию соотношений;
) развивать и практиковать технику решения задач;
) формировать понятие математической модели.
Говоря о роли математических задач в развитии у школьников способностей к самостоятельной познавательной деятельности творческого характера, т.е. в активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе, отметим полезность постановки в школьном обучении математических нестандартных задач, т. е. исторических задач, задач проблемного характера или с практическим применением.
Понятие прогрессии следует закрепить, решая задачи различных видов.
. Используя формулы общих членов прогрессий и суммы первых членов прогрессий, а также суммы бесконечной убывающей по модулю геометрической прогрессии, находят один из компонентов этих формул, если остальные известны.
Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.
Задача 1. Дано: . Найти .
Решение. .
Ответ: [25].
Задача 2. Дано: , . Найти .
Решение. ; ;
.
Ответ: 205,9 [25].
Упражнений такого вида достаточно в учебных пособиях для девятого класса. Они являются самыми простыми и рассматриваются на первых уроках решения задач на прогрессии.
. Задачи, в которых по заданной зависимости между членами арифметической и геометрической прогрессий (или одной из них), требуется найти сами прогрессии.
Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.
Задача 1. В арифметической прогрессии выполняется , . Найдите и .
Решение:
Ответ: , [1].
Задача 2. Дано: - арифметическая прогрессия, Найдите и d.
Решение.
Ответ: , [25].
При решении задач этого вида полезно разнообразить содержание, рассмотрев, например, случай, когда разность (знаменатель) прогрессии есть иррациональные числа. Часто очень помогает решению задач использование характеристических свойств прогрессий, доказательство которых само по себе составляет прекрасную задачу.
. Задачи с практическим и экономическим содержанием на прогрессии.
Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.
Задача 1. В сберегательный банк внесли вклад в 10000 руб. с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит сберегательный банк вкладчику через 4 года?
Решение. Сбербанк за один год выплатит , где - вклад, q - процентная ставка. За 2 года , но , следовательно, .
Легко убедиться, что за 3 года , тАж, за n лет .
По этой формуле определим сумму, которую сбербанк выплатит вкладчику по истечении четырех лет:
.
Ответ: [36].
Задача 2. Бегун за первую минуту бега пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробежал на 5 м меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?
Решение. За первую минуту бегун пробежал 400 м, за вторую - 395 м, за третью - 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, тАж образуют арифметическую прогрессию, у которой , . Путь за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых шестидесяти членов прогрессии. Увидев формулу , получим: .
Итак, за 1 ч бегун пробежал 15 км 150 м.
Ответ: 15 км 150 м [2].
Другие примеры задач этого типа предложены в 7 приложении 4.
4.Нестандартные задачи на прогрессии.
Учащиеся затрудняются в решении задач на прогрессии с буквенными данными. Но эти задачи часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому школьников следует учить решению таких задач не только на внеклассных занятиях, но и на уроках, что, естественно, способствует активизации деятельности учащихся на уроках-практикумах. Осуществить такое обучение легче всего с помощью целой подборки заданий. Далее предлагается такая подборка.
Задача 1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии, если сумма первых членов этой прогрессии равна .
Решение. Преобразуем искомую сумму:
По условию , отсюда .
Ранее мы доказали, что .
Из последних двух равенств следует: .
Ответ: [26].
Задача 2. В арифметической прогрессии . Найдите отношение к .
Решение. По условию .
Из последнего равенства получаем:
, так как .
Дальнейшие преобразования приводят к уравнению
, или .
Если , то и .
Пусть , тогда , причем из условия ясно, что . Найдем требуемое отношение: .
Ответ: [26].
Другие примеры нестандартных задач предложены в 7.
На уроках решения задач по теме Арифметическая и геометрическая прогрессии полезно рассмотреть старинные задачи, которые также способствуют активизации познавательной деятельности учащихся и являются бесспорн