Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Вµ равенство [4].
Задача 3. Доказать, что если a, b, c образуют геометрическую прогрессию, то , где , a, b, c - различные положительные числа, отличные от 1.
Решение. В левой части удобно перейти к общему основанию .
Воспользуемся тем, что .
Перейдем в левой части равенства к общему основанию и сделаем некоторые упрощения:
.
В последнем равенстве мы воспользуемся тем, что - знаменатель прогрессии [26].
Задача 4. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых п членов. Найти произведение первых п членов, если первый член равен .
Решение. Если приравнять выражения для удвоенной суммы п членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно .
Необходимо записать произведение п первых членов и воспользоваться тем, что .
Из условия следует, что , откуда . Произведение п первых членов прогрессии равно:
.
Ответ: [39].
Задача 5. Три брата, возраст которых образует геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через три года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?
Решение. Пусть братьям , и лет. Если младший получает х рублей, то остальные два получат и рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.
При решении уравнений нужно иметь в виду, что нас интересуют только и .
Через три года братьям будет , и лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:
. (1)
При дележе через три года младший брат получит , средний . Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы: .
Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения: , . (2)
Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:
, т.е. . (3)
Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки а, то
(1')
Сравним с уравнением (3): .
Первое из уравнений (2) можно переписать так:
.
Раскроем скобки и решим систему, состоящую из уравнения, полученного в результате, и из уравнения (1'):
Из первого уравнения получаем . Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение , откуда . Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через три года стать вдвое старше другого.
Итак, первому брату 12 лет, второму - 18 лет, а третьему - 27 лет.
Ответ: 12, 18, 27 лет [4].
Задача 6. Докажите, что если положительные числа образуют арифметическую прогрессию, то числа
также образуют арифметическую прогрессию.
Решение. По условию , отсюда . Рассмотрим разности:
.
Отсюда следует, что разность между вторым и первым членами данной последовательности равна разности между ее третьим и вторым членом, а это и значит, что числа образуют арифметическую прогрессию.
Что и требовалось доказать [26].
В качестве заданий для индивидуальной работы можно предложить учащимся следующие задачи.
1.При каких значениях x и y последовательность , , , где , , , является одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Отв. [4].
2.Найти трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45. Отв. 135; 630; 765 [39].
3.Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии. Отв. 1; ; [4].
Факультативное занятие №2. Старинные задачи по теме Арифметическая и геометрическая прогрессии
Старинные задачи способствуют развитию интереса учащихся к прогрессиям, а также позволяют разнообразить перечень задач, предлагаемых для решения школьникам, в итоге активизировав их познавательную деятельность.
Задача 1. Древнейшая задача на прогрессии - не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, возможно, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая:
Сто мер хлеба необходимо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?
Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность у. Тогда доля первого - х, второго - (х+у), третьего - (х+2у), четвертого - (х+3у), пятого - (х+4у).
На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:
После упрощений первое уравнение получает вид х+2у=20, а второе: 11х=2у. Решив эту систему, получаем: , .
Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: , ,
Ответ: [29].