Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
проходит поезд за первые 13 минут движения?
Решение. Расстояния (в км), которые поезд проходит при равноускоренном движении за каждую из первых 13 минут, составляют арифметическую прогрессию , , , , тАж, , причем , так как 30км/ч=0,5км/мин.
По формуле общего члена арифметической прогрессии получим уравнение . Так как начальная скорость поезда равна нулю, то численно значение расстояния, пройденного поездом за первую минуту, согласно равенствам и , равно половине ускорения, т.е. половине разности прогрессии. Получаем второе уравнение: .
Решив систему уравнений: получим и . Тогда , т.е. за первые 13 мин поезд прошел 3,38 км.
Ответ: 3,38 км [22].
Задача 7. Пусть и - корни уравнения , а и - корни уравнения . Известно, что последовательность , , , является возрастающей геометрической прогрессией. Найти и .
Решение. Удобно ввести в рассмотрение знаменатель прогрессии и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить и .
Пусть - знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета получаем следующее: , , , .
Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим, что .
Так как последовательность по условию является возрастающей, то , откуда , что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.
Из двух вторых уравнений определяем, что и .
Ответ: , [4].
Задача 8. Найти трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.
Решение. Если обозначить через цифру единиц, а через - знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих условия задачи:
, .
Первое уравнение можно переписать в виде , а второе - в виде , т.е. . Делением первого уравнения на второе получим , .
Следовательно, . Значит, данное число равно 842.
Однако можно пойти по другому пути: так как цифры числа образуют геометрическую прогрессию, само число больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности: 931, 842 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, т.к. и . Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.
Требование, чтобы числа , , образовали арифметическую прогрессию, при таком решении оказывается лишним.
Ответ: 842 [4].
Задача 9. Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй - 2, в третий - 3 и т.д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?
Решение. Всю работу следует принять за 1. Чтобы использовать условия задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам не известно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через , а через обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна .
В задаче спрашивается, сколько комбайнов было в совхозе. Эту величину обозначим через . Условия задачи позволяют составить три уравнения. При этом левая часть уравнения, соответствующего работе по плану, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. При решении системы уравнений нужно исключить и .
Итак, пусть в совхозе было комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за ч. непрерывной работы, и при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле ч. Так как все комбайны могли справиться с уборкой за 24 ч., а производительность одного комбайна , то , т.е. .
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал ч., второй , а -й работал 1 ч. Учитывая все это, получим уравнение: или .
Так как , то из этого уравнения можно выразить через : .
Последнее условие задачи можно записать в виде уравнения . Подставляя вместо и их выражения через , придем к квадратному уравнению , т.е. .
Решая это уравнение, найдем, что , . Второй корень не является решением, так как меньше нуля.
Ответ: 25 комбайнов [31].
Задача 10. Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме рядом стоящих членов, разделенной на 6.
Решение. Пусть есть искомая прогрессия, тогда для нахождения знаменателя этой прогрессии, используя условие задачи, составим уравнение .
Исключив тривиальные случаи и , получим: , откуда .
Таким образом, решением данной задачи является геометрическая прогрессия, знаменатель которой выражается иррациональным числом.
Ответ: [26].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной выпускной квалификационной работе рассмотрена тема Активизация познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе.
В результате проведения работы были решены все поставленные задачи, и, тем самым, достигнута основная цель.
В ходе практической проверки эффективности предложенной методики было проведено 14 уроков, на последнем из которых учащиеся выполнил