Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Задача 2. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.
Решение. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65(м.). При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70(м.).
Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75; тАж; 65+529.
Сумма её членов равна (м.).
Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.
Ответ: 4,125 км [29].
Задача 3. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.
Сколько яблок было у садовника?
Решение. Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил , второй - , третий - , тАж, седьмой покупатель - .
Имеем уравнение или
.
Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: и .
Всего яблок было 127.
Ответ: 127 яблок [32].
Задача 4. В старинной арифметике Магницкого находим следующую забавную задачу, которая приводится здесь, без сохранения языка подлинника.
Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай всего коп., за второй - коп., за третий - 1коп. и т. д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
На сколько покупатель проторговался?
Решение. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить
копеек. Сумма эта равна
(коп.), т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
Ответ: около 42 тысяч рублей [3].
Задача 5. Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие: Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике (1795), заимствована следующая задача.
Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Сколько ран получил воин?
Решение. Составляем уравнение или и х=16 - результат, который легко находим путем испытаний.
При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.
Ответ: 16 ран [29].
В качестве заданий для индивидуальной работы можно предложить учащимся следующие задачи.
1.Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет меры. Указание: найти члены арифметической прогрессии с разностью и [3].
.Задача Пьера Ферма. Показать, что если есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , то [3].
.Задача Исаака Ньютона. Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов 133. Определить эти члены. Отв. 9, 6, 4 и 4, 6, 9 [3].
Факультативное занятие №3. Геометрическая прогрессия и ее приложение в экономике
В начале занятия учитель говорит примерно следующее: Геометрическая прогрессия имеет очень широкие приложения в экономике. С ее помощью банк производит расчеты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. На занятии мы рассмотрим только один вопрос: как банки дают кредиты различным фирмам и как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм?
Коллектив разбивается на пять групп, каждая из которых представляет один из банков: Алмаз, Берилл, Изумруд, Сапфир и Сердолик.
Представители первых четырех банков напоминают основные определения (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Определение геометрической прогрессииФормула общего члена геометрической прогрессии: Сумма первых п членов геометрической прогрессии:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Смысл ее суммы:
Представитель пятого банка демонстрирует схему - структуру банковской системы России (рис. 7.1) и рассказывает об обязательных и свободных резервах коммерческих банков.
Дело в том, что Центральный банк России (ЦБ) руководит работой всех коммерческих банков, которые принимают деньги у населения, фирм, объединений и т.д., а также выдают кредиты. По закону о банках каждый коммерческий банк обязан часть поступающих к нему денег хранить в ЦБ, который ими распоряжается. Это так называемые обязательные резервы банка. Они устанавливаются как определенный процент от суммы вклада, поступающего в банк. Остальными деньгам