Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
класса в теме Арифметическая и геометрическая прогрессии. На эту тему по программе общеобразовательных классов отводится 14 часов. Для изучения арифметической прогрессии отводится 6 часов, геометрической - 7 часов, но соотношение часов может варьироваться по усмотрению учителя [33].
Основная цель этой темы - дать понятие об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида.
Для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе, можно провести изучение арифметической
и геометрической прогрессий параллельно, основываясь на примерном тематическом планировании, предложенном в 2.
На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий последовательность, п-й член последовательности, выработать умение использовать индексные обозначения.
Для более сильных учащихся можно ввести строгое определение последовательности как функции натурального аргумента, понятие области определения и области значений такой функции, графическое изображение последовательности. На этом же уроке уместно показать различные способы задания последовательности, используя задания типа №329,334,336,337 учебника Алгебра, 9 Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. под редакцией Теляковского С.А. [25].
№329. Выпишите несколько первых членов последовательности натуральных чисел, кратных 3. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й члены.
Решение. Формула общего члена данной последовательности имеет вид: , где п - натуральные числа. Значит, , , , а п-й член указан ранее.
Ответ: 3, 15, 30, .
№334 (а). Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой п-го члена: .
Решение. Согласно заданной формуле получаем: , , , , , .
Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
№336 (а). Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены последовательности , если известно, что первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т.е. и .
Решение. Учитывая данные условия, получаем: , , , .
Ответ: 13, 16, 19, 22.
№337 (а). Выпишите первые пять членов последовательности , если , .
Решение. Используя заданные условия, получаем: , , , . Значит, первые пять членов заданной последовательности имеют вид: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.
Сведения, полученные учащимися на первом уроке темы, используются при введении понятия арифметическая и геометрическая прогрессия, выводе формул п-го члена и суммы п членов для каждой из прогрессий.
Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются простейшими примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить внимание учащихся и использовать его, формулируя определение прогрессий.
Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением .
Если последовательность вводится рекуррентным способом, то, как известно, для полного ее задания нужно указать начальные члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать первый ее член. Итак, арифметическая прогрессия будет определена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифметическая прогрессия с первым членом и разностью d определяется индуктивно условиями: и .
Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1 и : 1, 2, 3, 4 ... .
Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением: , т.е. задается условиями: и .
Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.
Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью , и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.
В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если , и будет убывающей, если d < 0.
Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану:
) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.
Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81, ... (т. е. , q = 3), или - 2, - 8, - 32, ... (т. е. ).
) Если , то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.
Пример 2. , или .
) Пусть , тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю,
Пример 3. - 3, 6, - 12, 24, ... .
) Если , то члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.
Пример 4. - 8, 1, .
) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е. , а при все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь зна