Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?ных функций:
(3)
которая каждой точке области относит одну определенную точку области , причем ни одна точка из не будет пропущена, так что каждая такая точка отнесена хоть одной точке из . Если различным точкам отвечают различные же точки , так что каждая точка отнесена лишь одной точке , то формулы (3) однозначно разрешимы относительно . Переменные в свою очередь являются однозначными функциями от в области :
(4)
Таким образом, между областями и устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Говорят также, что формулы (3) осуществляют преобразование области в область , а формулы (4) дают преобразование области в область .
Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.
Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .
Значит, определитель - непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак [1].
Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области [1].
Теорема. Пусть Т - преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области [1].
Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.
Пусть уравнения кривой будут:
,
причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.
Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :
.
Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая - гладкая кривая [1].
Криволинейная система координат
Преобразования областей для удобства трактуют как переход от прямоугольной декартовой системы координат к криволинейной системе координат [42].
Пусть поле преобразует область плоскости в область плоскости .
Координатная сетка в плоскости наводит координатную сеть в области : . Координатные линии параллельны осям и .
При преобразовании эти прямые (частный случай гладкой кривой) переходят в гладкие кривые в области (в соответствии с доказанной в предыдущем пункте теоремой).
Они образуют сеть гладких кривых в области и называются криволинейными координатными линиями (координатные прямые области порождают координатные кривые области ) [42].
Так как поле взаимно однозначно, то через каждую точку проходят только две координатные криволинейные линии, которые являются образами линий .
Эти координатные кривые линии сопоставляют точке с координатами два числа , которые называются криволинейными координатами точки . Криволинейные координаты точки связаны с прямоугольной декартовой системой координат прямыми уравнениями и обратными уравнениями [42].
Полагая в (4) , получим параметрическое представление координатной линии:
(роль параметра здесь играет ). Неявное уравнение той же линии получим, полагая во втором из уравнений (4).
Аналогично при , получим следующее параметрическое представление координатной линии:
Имея криволинейные координаты , можно трактовать преобразование областей как переход в от криволинейных координат к прямоугольной декартовой системе координат [42].
А преобразование области в - как переход от прямоугольной декартовой системы координат к криволинейной системе координат с помощью систем уравнений , где каждая точка .
Значит, любая точка области имеет две пары координат: прямоугольные декартовы и криволинейные [42].
Полярная система координат
Простейшим и важнейшим примером криволинейных координат являются полярные координаты . Они имеют наглядное геометрическое истолкование, как полярный радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены и формально, с помощью известных соотношений:
где . Если значения и откладывать по двум взаимно перпендикулярным осям, считая, например, - абiиссой, а - ординатой (при правой ориентации осей), то каждой точке полуплоскости по указанным формулам отвечает одна определенная точка на плоскости [1].
В этом случае координатные линии имеют вид: прямым , отвечают круги радиуса iентром в начале координат, а прямым отвечают лучи, исходящие из начала координат под углом к оси .
Однако в данном случае формулы преобразования, вообще, не будут однозначно разрешимы: изменение величины угла на (где - целое) не отразится на значениях и . Для того, чтобы получить все точки плоскости , достаточно ограничиться значениями , [1].
Каждой точке , отличной от начала, отвечает одно значение и одно значение в указанных пределах. Но неустранимое нарушение однозначности соответствия связано с началом координат: точке отвечает на плоскости вся ось (или ее отрезок от до ).
Рассмотрим на плоскости замкнутый прямоугольник или